Question

Интеграл dx/(x^2+2x-3)

Answer 1

$\int\limits {\dfrac{dx}{x^2+2x-3}}$

Преобразуем дробь, стоящую под знаком интеграла:

$\dfrac{1}{x^2+2x-3}=\dfrac{1}{x^2+2x+1-4}=\dfrac{1}{(x+1)^2-2^2}=\\\\=\dfrac{1}{(x+1-2)(x+1+2)}=\dfrac{1}{(x-1)(x+3)}$

Представим дробь в виде суммы простейших:

$\dfrac{1}{(x-1)(x+3)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+3}$

Определим коэффициенты А и В. Для этого сложим дроби в правой части:

$\dfrac{A}{x-1} +\dfrac{B}{x+3}=\dfrac{A(x+3)+B(x-1)}{(x-1)(x+3)} =\dfrac{(A+B)x+3A-B}{(x-1)(x+3)}$

Дроби $\dfrac{1}{(x-1)(x+3)}$ и $\dfrac{(A+B)x+3A-B}{(x-1)(x+3)}$ должны быть равны, следовательно:

$(A+B)x+3A-B=1$

Получаем систему:

$\left\{\begin{array}{l} A+B=0 \\ 3A-B=1 \end{array}$

Складываем уравнения:

$4A=1\Rightarrow A=\dfrac{1}{4}$

$B=-A \Rightarrow B=-\dfrac{1}{4}$

Тогда представление в виде суммы имеет вид:

$\dfrac{1}{x^2+2x-3}=\dfrac{1}{(x-1)(x+3)}=\dfrac{1}{4(x-1)}-\dfrac{1}{4(x+3)}$

Возвращаемся к интегралу:

$\int\limits {\dfrac{dx}{x^2+2x-3}}=\int\limits\left(\dfrac{1}{4(x-1)}-\dfrac{1}{4(x+3)}\right)dx=\\\\=\dfrac{1}{4}\int\limits\dfrac{dx}{x-1}-\dfrac{1}{4}\int\limits\dfrac{dx}{x+3}=\boxed{\dfrac{1}{4}\ln|x-1|-\dfrac{1}{4}\ln|x+3|+C}$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, мы можем воспользоваться методом разложения на простые дроби. Сначала нужно разложить знаменатель дроби на множители:

x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)

Теперь представим исходную дробь в виде суммы двух дробей с неизвестными коэффициентами A и B:

∫(dx / (x^2 + 2x - 3)) = ∫(Adx / (x + 3) + Bdx / (x - 1))

Теперь найдем значения коэффициентов A и B. Для этого сложим две дроби в правой части уравнения:

A / (x + 3) + B / (x - 1)

Общий знаменатель для двух дробей равен (x + 3)(x - 1), так что:

(A(x - 1) + B(x + 3)) / ((x + 3)(x - 1))

Теперь уравняем числители:

A(x - 1) + B(x + 3) = 1

Теперь подставим значения x, чтобы найти A и B:

1. Подставим x = -3: A(-3 - 1) + B(-3 + 3) = A(-4) = -4A = 1 A = -1/4

2. Подставим x = 1: A(1 - 1) + B(1 + 3) = B(4) = 4B = 1 B = 1/4

Теперь, когда мы нашли значения A и B, можем вычислить интеграл:

∫(dx / (x^2 + 2x - 3)) = ∫((-1/4) * dx / (x + 3) + (1/4) * dx / (x - 1))

Теперь проинтегрируем каждую из дробей:

∫((-1/4) * dx / (x + 3)) = (-1/4) * ln| x + 3 | + C1

∫((1/4) * dx / (x - 1)) = (1/4) * ln| x - 1 | + C2

Где C1 и C2 - константы интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ будет:

∫(dx / (x^2 + 2x - 3)) = (-1/4) * ln| x + 3 | + (1/4) * ln| x - 1 | + C, где C = C1 + C2.