Question

Три числа составляют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа, если известно, что их сумма равна 9 и при увеличении на 1, 1 и 3 соответственно они со­ставляют геометрическую прогрессию.

Answer 1

решение:

а - первое число арифметической прогрессии

b - второе число арифметической прогрессии

c - третье число арифметической прогрессии

а+b+с = 9 -сумма членов ариф. прогрессии

Сумму членов ариф. прогрессии можно вычислить и по формуле

---------------Sₓ = ((а+с)/2) * х-------------

где х = 3 - количество членов ариф. прогрессии

S₃ = ((а+с)/2) *3 = 9

((а+с)/2) *3 = 9

((а+с)/2) = 9/3 =3

(а+с) = 3*2

а+с = 6

определим b - второй член ариф. прогресс.

а+b+с = 9

b = 9-а-с = 9-6 = 3 -второй член ариф. прогресс.

по условию задачи

(а + 1)  - первое число геометрической прогрессии

(b + 1) - второе число геометрической прогрессии

(с + 3) - третье число геометрической прогрессии

(а + 1) * (b + 1) * (с + 3) -----геометр. прогрессия

где b + 1 = 3+1 = 4----- второй член геометр. прогрессии

второй член. геом. прогрессии вычисляется по формуле b₂=b₁*q ( где q - знаменатель геом. прогрессии)

следовательно:

b = (а+1) * q

4 = (а+1) * q

q = 4/(а+1)

выразим третий член геом. прогрессии (с + 3) по формуле b₃=b₂*q

(с + 3) = 4*q (подставим в формулу значение q = 4/(а+1))

с+3 = 4*4/(а+1)

с+3 = 16/(а+1)

с = (16/(а+1)) - 3----общий знаменатель (а+1)

с = (16-3а-3) / (а+1)

с=(13-3а) / (а+1)

подставим значение с в формулу а+с = 6 (смотри в начале решения)

а + ((13-3а) / (а+1)) = 6 ---левую часть под общий знаменатель (а+1)

(а*(а+1) +13-3а) / (а+1) = 6

а² + а + 13 - 3а = 6*(а+1)

а²-2а+13 = 6а +6

а² - 8а + 7 = 0-------отсюда находим а = 1 - первый член ариф. прогр.

проверка-----1²- 8*1 + 7 = 0

т. к. а+с = 6, значит с = 6-а=6-1 = 5 - третий член ариф. прогрессии

итого: а = 1 - первый член ариф. прогр.

---------b=3 - второй член ариф. прогресс.

---------с = 5 - третий член ариф. прогрессии

проверка: а+b+с = 1+3+5= 9 -верно

(а + 1)=1+1 = 2  - первое число геометрической прогрессии

(b + 1) =3+1 = 4 - второе число геометрической прогрессии

(с + 3)=5+3 = 8 - третье число геометрической прогрессии

q = 4/(а+1) = 4/(1+1)= 2 -знаменатель геом. прогрессии

проверка: 2*2=4-------4*2=8------верно

Answer 2

Давайте обозначим три числа арифметической прогрессии как a-d, a и a+d, где "a" - это среднее значение, а "d" - разность между соседними членами прогрессии.

Из условия задачи у нас есть две информации:

1. Сумма трех чисел равна 9: (a - d) + a + (a + d) = 9 3a = 9 a = 3

2. При увеличении на 1, 1 и 3 соответственно, числа образуют геометрическую прогрессию. То есть: (a - d + 1) / (a - d) = (a + 1) / a = (a + d + 3) / (a + d)

Подставим значение "a" из первого уравнения: (a - d + 1) / (a - d) = (3 - d + 1) / (3 - d) (a + 1) / a = (3 + d + 3) / (3 + d)

Теперь решим систему уравнений:

(a - d + 1) / (a - d) = (3 - d + 1) / (3 - d)

(a - d + 1) * (3 - d) = (3 - d + 1) * (a - d)

3(a - d) - d(a - d) + (a - d) = (a - d) + 3 - d

3a - 3d - da + d^2 + a - d = a - d + 3 - d

3a - da + d^2 = 3

Подставим значение "a": 3 * 3 - d * 3 + d^2 = 3

9 - 3d + d^2 = 3

d^2 - 3d + 6 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

d = (3 ± √(3^2 - 4 * 1 * 6)) / 2 d = (3 ± √(9 - 24)) / 2 d = (3 ± √(-15)) / 2

Поскольку дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что такая арифметическая прогрессия не существует.

Из этого следует, что условие задачи противоречиво, и нет решения для такой арифметической прогрессии, которая бы удовлетворяла обоим условиям сразу.