Question

Найти хотя бы одну первообразную для заданных функций: 1)∛х + 3∛х 2)7∛х - 5√х

Answer 1

1)
$1 \sqrt[3]{x} + 3 \sqrt[3]{x} = \\ 4 \sqrt[3]{x}$
2)
$\sqrt[3]{x} (7 - 5\sqrt[6]{x} )$

Answer 2

Для каждой из заданных функций найдем хотя бы одну первообразную.

1. ∛x + 3∛x

Для первообразной данной функции, возьмем переменную u = ∛x. Тогда u^3 = x и du = (1/3)√x*dx.

Теперь функцию можно переписать в терминах u:

∫(∛x + 3∛x)dx = ∫(u + 3u) * 3u^2 du = ∫(4u^3) du = 4 * ∫u^3 du = 4 * (u^4 / 4) + C = u^4 + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь вернемся к исходной переменной x:

∛x + 3∛x = u + 3u = ∛x + 3∛x = x^(1/3) + 3x^(1/3).

Таким образом, первообразной для данной функции является F(x) = x^(4/3) + C.

2. 7∛x - 5√x

Для первообразной данной функции, возьмем переменную u = √x. Тогда u^2 = x и du = (1/2)√x*dx.

Теперь функцию можно переписать в терминах u:

∫(7∛x - 5√x)dx = ∫(7u^3 - 5u) * 2u du = ∫(14u^4 - 10u^2) du.

Теперь найдем первообразную для каждого слагаемого по отдельности:

∫(14u^4) du = (14/5) * u^5 + C1, ∫(-10u^2) du = (-10/3) * u^3 + C2.

Теперь вернемся к исходной переменной x:

7∛x - 5√x = 7u^3 - 5u = 7(x^(1/2))^3 - 5√x = 7x^(3/2) - 5√x.

Таким образом, первообразной для данной функции является F(x) = (14/5) * x^(5/2) - (10/3) * √x + C, где C - произвольная постоянная.