Question

Решение неравенств а) 3х^2-2х-5>0; б) х^2+6х+9<0 в) -х^2+6х>или=0

Answer 1

а) 3x^2-2x-5>0

3x^2-2x-5=0

D=b^2-4ac=4-4*3*(-5)=4+60=64=8^2

x1=(2+8)/6=10/6=5/3=1 целая 2/3

х2=(2-8)/6=-6/6= -1

Рисуем прямую точку -1 ставим слева от 1 целой 2/3. Так как знак больше, то ответ будет (- бесконечность;-1) и (1 целая 2/3; +бесконечность)

б)  х^2+6х+9<0

х^2+6х+9=0

D=36-36=0

x1= -6/2= -3

x2= -6/2= -3

У нас получился один корень, значит ответ будет от -3 до +бесконечности.

в)-х^2+6х>=0 Умножим всё на -1

х^2-6х<=0

x^2-6x=0

x(x-6)=0

x=0 или х-6=0

х=0 или х=6

На числовой прямой ставим ноль левее 6. Так как знак получился меньше или равно, то ответ будет от 0 до 6.

Answer 2

Для решения неравенств, сначала найдем корни соответствующих квадратных уравнений, а затем определим знак выражений в различных интервалах, чтобы найти области, где неравенства выполняются.

а) Решение неравенства: 3x^2 - 2x - 5 > 0

1. Найдем корни квадратного уравнения 3x^2 - 2x - 5 = 0: Используем формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac где a = 3, b = -2, c = -5

D = (-2)^2 - 4 * 3 * (-5) = 4 + 60 = 64

Так как дискриминант D положителен, у уравнения есть два различных действительных корня.

2. Найдем корни уравнения, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a

x1 = (2 + √64) / (2 * 3) = (2 + 8) / 6 = 10 / 6 = 5/3 x2 = (2 - √64) / (2 * 3) = (2 - 8) / 6 = -6 / 6 = -1

3. Теперь определим знак выражения 3x^2 - 2x - 5 на различных интервалах:

Интервал I: x < -1 Подставим x = -2 (любое число меньше -1) в выражение: 3(-2)^2 - 2(-2) - 5 = 12 + 4 - 5 = 11 (положительное число)

Интервал II: -1 < x < 5/3 Подставим x = 0 (любое число между -1 и 5/3) в выражение: 3(0)^2 - 2(0) - 5 = -5 (отрицательное число)

Интервал III: x > 5/3 Подставим x = 2 (любое число больше 5/3) в выражение: 3(2)^2 - 2(2) - 5 = 12 - 4 - 5 = 3 (положительное число)

Таким образом, неравенство 3x^2 - 2x - 5 > 0 выполняется на интервалах: x < -1 и x > 5/3.

б) Решение неравенства: x^2 + 6x + 9 < 0

1. Найдем корни квадратного уравнения x^2 + 6x + 9 = 0: Используем формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac где a = 1, b = 6, c = 9

D = 6^2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0

Так как дискриминант D равен нулю, у уравнения есть один действительный корень.

2. Найдем корень уравнения, используя формулу: x = -b / 2a x = -6 / (2 * 1) = -6 / 2 = -3

3. Теперь определим знак выражения x^2 + 6x + 9 на различных интервалах:

Интервал I: x < -3 Подставим x = -4 (любое число меньше -3) в выражение: (-4)^2 + 6(-4) + 9 = 16 - 24 + 9 = 1 (положительное число)

Интервал II: x > -3 Подставим x = 0 (любое число больше -3) в выражение: 0^2 + 6(0) + 9 = 9 (положительное число)

Таким образом, неравенство x^2 + 6x + 9 < 0 не имеет решений, так как выражение всегда положительное.

в) Решение неравенства: -x^2 + 6x ≥ 0

1. Факторизуем выражение: -x^2 + 6x = -x(x - 6)

2. Теперь определим знак выражения -x^2 + 6x на различных интервалах:

Интервал I: x < 0 Подставим x = -1 (любое число меньше 0) в выражение: -(-1)^2 + 6(-1) = -1 - 6 = -7 (отрицательное число)

Интервал II: 0 ≤ x ≤ 6 Подставим x = 3 (любое число между 0 и 6) в выражение: -(3)^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9 (положительное число)

Интервал III: x > 6 Подставим x = 7 (любое число больше 6) в выражение: -(7)^2 + 6(7) = -49 + 42 = -7 (отрицательное число)

Таким образом, неравенство -x^2 + 6x ≥ 0 выполняется на интервалах: 0 ≤ x ≤ 6.