Question

1) Найдите значение производной функции у = sin4x в точке х = π/4 2)К графику функции f(x) = 0,5 х2 - х4 проведена касательная через точку с абсциссой х0 = -2. Вычислите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс. 3)Выяснить при каких значениях х значение производной функции у = √ х+1 - ln(х - 2) равно нулю

Answer 1

решение находится ниже

Answer 2

1. Найдем значение производной функции у = sin(4x) в точке х = π/4:

Для этого возьмем производную функции у = sin(4x) по переменной x: d/dx(sin(4x)) = 4*cos(4x).

Теперь подставим значение х = π/4 в полученную производную: d/dx(sin(4 * π/4)) = 4cos(4 * π/4) = 4cos(π) = 4 * (-1) = -4.

Таким образом, значение производной функции у = sin(4x) в точке х = π/4 равно -4.

2. Чтобы найти тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) = 0.5x^2 - x^4 в точке x0 = -2, нужно найти значение производной функции в этой точке. Касательная имеет угол наклона, равный значению производной функции в этой точке.

Найдем производную функции f(x) = 0.5x^2 - x^4: f'(x) = d/dx(0.5x^2 - x^4) = 0.5 * d/dx(x^2) - d/dx(x^4) = 0.5 * 2x - 4x^3 = x - 4x^3.

Теперь подставим значение x = -2 в полученную производную: f'(-2) = (-2) - 4 * (-2)^3 = -2 - 4 * (-8) = -2 + 32 = 30.

Таким образом, значение производной функции f(x) в точке x0 = -2 равно 30, что соответствует тангенсу угла наклона касательной.

3. Найдем значения х, при которых производная функции у = √(x + 1) - ln(x - 2) равна нулю:

Для этого решим уравнение производной равное нулю: dy/dx = 0.

Сначала найдем производную функции у = √(x + 1) - ln(x - 2): dy/dx = d/dx(√(x + 1)) - d/dx(ln(x - 2)).

Для нахождения производной первого слагаемого, используем правило дифференцирования корня: d/dx(√(x + 1)) = 1 / (2 * √(x + 1)).

Для нахождения производной второго слагаемого, используем правило дифференцирования натурального логарифма: d/dx(ln(x - 2)) = 1 / (x - 2).

Теперь уравнение производной равное нулю: 0 = 1 / (2 * √(x + 1)) - 1 / (x - 2).

Для решения уравнения, умножим обе стороны на 2 * √(x + 1) * (x - 2): 0 = (x - 2) - 2 * √(x + 1).

Теперь перенесем слагаемое с корнем на правую сторону: 2 * √(x + 1) = x - 2.

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: 4 * (x + 1) = (x - 2)^2.

Раскроем квадрат на правой стороне: 4 * (x + 1) = x^2 - 4x + 4.

Теперь приведем все слагаемые в уравнении к одной стороне: x^2 - 4x + 4 - 4 * (x + 1) = 0.

Упростим: x^2 - 4x + 4 - 4x - 4 = 0, x^2 - 8x = 0.

Теперь факторизуем уравнение: x(x - 8) = 0.

Таким образом, уравнение имеет два решения:

1. x = 0,
2. x = 8.

Теперь нужно проверить, что значения производной в этих точках действительно равны нулю: а) При x = 0: dy/dx = 1 / (2 * √(0 + 1)) - 1 / (0 - 2) = 1 / 2 - (-1/2) = 1 - (-1/2) = 1.5, что не равно нулю.

б) При x = 8: dy/dx = 1 / (2 * √(8 + 1)) - 1 / (8 - 2) = 1 / (2 * √9) - 1 / 6 = 1 / 6 - 1 / 6 = 0, что равно нулю.

Таким образом, значение производной функции у = √(x + 1) - ln(x - 2) равно нулю только при x = 8.