Question

Найти все первообразные для заданных функций: 1) 1 /√x-5 2) 6 / ∛x+7

Answer 1

$1) \frac{1}{\sqrt{x-5} }=\frac{1}{(x-5)^{\frac{1}{2} }} =(x-5)^{-\frac{1}{2} }\\ F(x)=2(x-5)^{\frac{1}{2} }=2\sqrt{x-5}$

$2)\frac{6}{\sqrt[3]{x+7}} =6(x+7)^{-\frac{1}{3}} \\ F(x)=\frac{6\sqrt[3]{(x+7)^2}*3 }{2} =9\sqrt[3]{(x+7)^2}$

Answer 2

Чтобы найти первообразную (или интеграл) для данных функций, нужно найти такую функцию, производная которой равна заданной функции.

1. Функция: f(x) = 1 / √(x - 5)

Для нахождения первообразной этой функции, выполним следующие шаги:

Шаг 1: Выполним замену переменной: Положим u = x - 5. Тогда du = dx.

Шаг 2: Заменим переменные в исходной функции: f(u) = 1 / √u.

Шаг 3: Найдем первообразную для f(u) относительно переменной u: F(u) = ∫(1 / √u) du = 2√u + C, где C - произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 4: Вернемся к исходной переменной x: F(x) = 2√(x - 5) + C.

Таким образом, первообразная для функции 1 / √(x - 5) равна F(x) = 2√(x - 5) + C.

2. Функция: f(x) = 6 / ∛(x + 7)

Для нахождения первообразной этой функции, выполним следующие шаги:

Шаг 1: Выполним замену переменной: Положим u = x + 7. Тогда du = dx.

Шаг 2: Заменим переменные в исходной функции: f(u) = 6 / ∛u.

Шаг 3: Найдем первообразную для f(u) относительно переменной u: F(u) = ∫(6 / ∛u) du = 3u^(2/3) + C, где C - произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 4: Вернемся к исходной переменной x: F(x) = 3(x + 7)^(2/3) + C.

Таким образом, первообразная для функции 6 / ∛(x + 7) равна F(x) = 3(x + 7)^(2/3) + C.