Question

Y=ln(x+1+√(x^2+2x+3) ) Найти производную функции

Answer 1

$y = (x + 1 + \sqrt{ {x}^{2} + 2x + 3} )dx\times \frac{1}{x + 1 + \sqrt{ {x}^{2} + 2x + 3 } } = 1 + \frac{2(x + 1)}{(x + 1) \sqrt{ {x}^{2} + 2x + 3 } + {x}^{2} + 2x + 3 }$

Answer 2

Для нахождения производной функции Y по переменной x, воспользуемся правилами дифференцирования. Здесь используется цепное правило и правило дифференцирования сложной функции.

Давайте последовательно найдем производные различных частей выражения.

1. Пусть u = x + 1 + √(x^2 + 2x + 3).
2. Тогда Y = ln(u).

Теперь найдем производную u по x:

u = x + 1 + √(x^2 + 2x + 3).

Производная √(x^2 + 2x + 3) равна (1/2) * (x^2 + 2x + 3)^(-1/2) * (2x + 2).

Таким образом, производная u по x:

du/dx = 1 + (1/2) * (x^2 + 2x + 3)^(-1/2) * (2x + 2).

Теперь найдем производную Y по x, используя цепное правило:

dY/dx = d/dx[ln(u)] = (1/u) * du/dx.

Таким образом, производная функции Y по x:

dY/dx = (1/u) * du/dx = (1/(x + 1 + √(x^2 + 2x + 3))) * (1 + (1/2) * (x^2 + 2x + 3)^(-1/2) * (2x + 2)).

Таким образом, производная функции Y по x равна:

dY/dx = (1/(x + 1 + √(x^2 + 2x + 3))) * (1 + (x + 1) / √(x^2 + 2x + 3)).