Question

Решите уравнение с пояснениями:x^2+2x^4+1=0

Answer 1

решение методом замены переменных

сделаем замену переменных x²=y ; x⁴=y²

тогда уравнение примет вид

2y²+y+1=0 это квадратное уравнение

d=1-4*2=1-8=-7 так как дискриминант меньше 0 то уравнение не имеет действительных корней

Answer 2

Можно рассуждать аналитически.

x² - число, которое заведомо больше или равно 0.

То же верно и для числа $x^{4}$.

Вычтем из обеих частей уравнения единицу, получим:

$x^{2} +2x^{4} =-1$

Сумма двух положительных чисел не может быть равна отрицательному, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

Answer 3

Для решения уравнения x^2 + 2x^4 + 1 = 0, сначала давайте попробуем привести его к квадратному уравнению относительно переменной x^2.

Заметим, что уравнение имеет вид (x^2)^2 + 2x^4 + 1 = 0. Обозначим x^2 за y:

y^2 + 2y + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение y^2 + 2y + 1 = 0, которое можно решить стандартными методами для квадратных уравнений.

Факторизуем уравнение:

(y + 1)^2 = 0

Теперь решим уравнение (y + 1)^2 = 0:

y + 1 = 0

y = -1

Но мы помним, что y = x^2, поэтому:

x^2 = -1

Теперь найдем значения x. Чтобы избежать извлечения комплексного числа из отрицательного числа, мы можем представить -1 как i^2, где i - мнимая единица (i = √(-1)). Таким образом, получаем:

x^2 = i^2

Теперь извлечем квадратный корень:

x = ±√i^2

Так как i^2 = -1:

x = ±√(-1)

Таким образом, уравнение имеет два комплексных корня:

x = i (мнимая единица)

x = -i (минус мнимая единица)

Вот и все решение уравнения x^2 + 2x^4 + 1 = 0. Оно имеет два комплексных корня: x = i и x = -i.