Question

Помогите с алгебры. Даю 41 балл. 8 класс. Тема: Квадратные уравнения. Теорема Виета. Квадратное уравнение как математическая модель прикладной задачи.① Решите уравнение:1) х² - 4х - 5 = 0;2) 9х² + 6х + 1 = 0② Один из корней уравнения х² + рх - 18 = 0 равна 6. Найдите г. и второй корень③ Найдите два последовательных натуральных числа, если сумма их квадратов на 21 больше за их произведение..

Answer 1

Добрый день! Решение см. фото.

Answer 2

Давайте решим по порядку каждое из предложенных уравнений:

① Решение уравнения: х² - 4х - 5 = 0

Для решения данного квадратного уравнения, можно воспользоваться формулой дискриминанта: D = b² - 4ac, где у нас есть уравнение вида ax² + bx + c = 0.

Для уравнения х² - 4х - 5 = 0:

a = 1, b = -4, c = -5.

Вычисляем дискриминант:

D = (-4)² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.

Теперь, используем формулы Виета для нахождения корней квадратного уравнения:

Пусть х₁ и х₂ - корни уравнения ax² + bx + c = 0, тогда:

х₁ + х₂ = -b/a, х₁ * х₂ = c/a.

1. Найдем сначала корни уравнения х² - 4х - 5 = 0:

х₁ = (-(-4) + √36) / (2 * 1) = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5, х₂ = (-(-4) - √36) / (2 * 1) = (4 - 6) / 2 = -2 / 2 = -1.

Ответ: Корни уравнения равны х₁ = 5 и х₂ = -1.

2. Теперь решим уравнение 9х² + 6х + 1 = 0.

a = 9, b = 6, c = 1.

Вычисляем дискриминант:

D = 6² - 4 * 9 * 1 = 36 - 36 = 0.

Так как D равен нулю, уравнение имеет один корень:

х = -b / (2a) = -6 / (2 * 9) = -6 / 18 = -1/3.

Ответ: Корень уравнения равен х = -1/3.

② Дано, что один из корней уравнения х² + рх - 18 = 0 равен 6. Найдем г и второй корень.

Пусть х₁ = 6 - это уже известный нам корень. Тогда у нас есть уравнение вида:

(x - х₁)(x - х₂) = 0.

где х₂ - второй корень.

Домножим скобки и приравняем к нулю:

(x - 6)(x - х₂) = 0.

Раскроем скобки:

x² - 6x - х₂x + 6х₂ = 0.

Сгруппируем:

x² - (6 + х₂)x + 6х₂ = 0.

Сравним это уравнение с изначальным уравнением х² + рх - 18 = 0:

• (6 + х₂) = р, 6х₂ = -18.

1. Из второго уравнения находим х₂:

6х₂ = -18, х₂ = -18 / 6, х₂ = -3.

2. Теперь подставим х₂ в первое уравнение, чтобы найти значение р:

-(6 + х₂) = р, -(6 + (-3)) = р, -3 = р.

Ответ: второй корень равен х₂ = -3, значение р равно -3.

③ Найдите два последовательных натуральных числа, если сумма их квадратов на 21 больше, чем их произведение.

Пусть первое число - n, тогда второе число будет n + 1 (поскольку они последовательные).

У нас есть следующее уравнение:

n² + (n + 1)² = n(n + 1) + 21.

Раскроем скобки и упростим:

n² + n² + 2n + 1 = n² + n + 21.

Приведем подобные члены:

2n² + 2n + 1 = n² + n + 21.

Перенесем все в левую часть уравнения:

2n² + 2n - n² - n - 21 + 1 = 0.

Упростим:

n² + n - 20 = 0.

Теперь решим это уравнение:

(n + 5)(n - 4) = 0.

Таким образом, у нас есть два возможных значения для n:

1. n + 5 = 0, тогда n = -5. Это не является натуральным числом.
2. n - 4 = 0, тогда n = 4.

Ответ: два последовательных натуральных числа - 4 и 5.