Question

Пожалуйста помогите найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y"+6*y'+5*y=x*e^(-x)

Answer 1

Характеристическое уравнение однородного диф. уравнения имеет вид:

$k^{2} +6k+5=0$ Корни этого уравнения: k=-5 и k=-1, поэтому общее решение однородного уравнения y=$C₁*e^{-5x} +C₂*e^{-x}$

Найдем частное решение неоднородного уравнения в виде

u=$x*(Ax+B)*e^{-x}$

производная u= $(2Ax+B)*e^{-x}-(Ax^{2} +Bx) *e^{-x}$

вторая производная u=$2Ae^{-x} -(2Ax+B)*e^{-x} +(Ax^{2} +Bx)*e^{-x} -(2Ax+B)e^{-x} *$

Подставляя в исходное уравнение производные имеем систему уравнений: УРАВНЕНИЕ ПРИ СТЕПЕНИ $x^{2}$ имеет вид 5А-6А+А=0, 0А=0, верно при любом значении А.

$\left \{ {{5B+12A-6B-2A-2A+B=1} \atop {6B+2A-B-B=0}} \right.$

Имеем: $\left \{ {{8*A=1} \atop {4B+2A=0}} \right.$

$\left \{ {{A=\frac{1}{8} } \atop {B=-\frac{1}{2}A}=-\frac{1}{16} } \right.$

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:

$y=C*e^{-5x} +C*e^{-x} +x*(\frac{1}{8}x-\frac{1}{16} )*e^{-x}$

Answer 2

Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, предположим, что решение имеет вид y = e^(mx), где m - некоторая константа, которую нужно определить.

Подставим этот вид решения в уравнение и рассчитаем производные:

y' = me^(mx) y'' = m^2e^(mx)

Подставим производные в исходное уравнение:

m^2e^(mx) + 6me^(mx) + 5e^(mx) = x*e^(-x)

Теперь выразим экспоненты на одну сторону уравнения:

m^2 + 6m + 5 = x*e^(-x)*e^(-mx)

Так как e^(mx) не обращается в ноль для любых значений x, то можем разделить уравнение на e^(mx):

m^2 + 6m + 5 = x*e^(-x)

Теперь приведем уравнение к стандартному виду для дифференциальных уравнений:

x*e^(-x) = m^2 + 6m + 5

Получившееся уравнение - это уравнение для определения значения m. Решим это уравнение:

e^(-x) = (m^2 + 6m + 5) / x

m^2 + 6m + 5 = x*e^(x)

Для нахождения значения m воспользуемся численными методами или кратными итерациями.

После нахождения значения m, общее решение дифференциального уравнения будет иметь вид:

y(x) = c1e^(m1x) + c2e^(m2x) - (1/((m^2 + 6m + 5)*e^x)), где m1 и m2 - найденные значения m, c1 и c2 - произвольные постоянные.

Заметим, что решение содержит дополнительное частное решение - член -(1/((m^2 + 6m + 5)e^x)), который был получен при решении уравнения для определения m. Это частное решение нужно добавить, так как уравнение неоднородное (с правой частью xe^(-x)), и оно учитывает эту неоднородность.