Question

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида

Answer 1

$y''-5y'+y=-4x^2-5x\\\\1)\ \ y''-5y'+y=0\ \ ,\ \ \ \ k^2-5k+1=0\ \ ,\ \ k_{1,2}=\dfrac{5\pm \sqrt{21}}{2}\\\\y_{obsh.odnor.}=C_1e^{\frac{5-\sqrt{21}}{2}\, x}+C_2e^{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}\\\\\\2)\ \ f(x)=(-4x^2-5x)\cdot e^{0\cdot x}\ \ ,\ \ 0\ne k_{1,2}\\\\y_{chastn.neodn.}=Ax^2+Bx+C\\\\y'=2Ax+B\\\\y''=2A\\-----------------------------\\y''-5y'+y=2A-5(2Ax+B)+(Ax^2+Bx+C)=-4x^2-5x\\\\\\Ax^2+(B-10A)\cdot x+(2A-5B+C)=-4x^2-5x$

$x^2\ |\ A=-4\\x^1\ |\ B-10A=-5\ \ ,\ \ \ B=-5+10A=-5-40=-45\\x^0\ |\ 2A-5B+C=0\ \ ,\ \ \ C=-2A+5B=8-225=-217\\\\y_{chastn.neodn.}=-4x^2-45x-217\\\\3)\ \ y_{obsh.neodnor.}=y_{obsh.odnor.}+y_{chastn.neodnor.}=\\\\=C_1e^{\frac{5-\sqrt{21}}{2}\, x}+C_2e^{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}-4x^2-45x-217$

Answer 2

Для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, нам потребуется следующий шаговой алгоритм:

1. Рассмотрите характерное уравнение (характеристическое уравнение) для соответствующего однородного дифференциального уравнения. Это уравнение будет иметь вид:

   P(D) = 0,

   где D - оператор дифференцирования, а P(D) - характеристический полином.

2. Найдите все корни характеристического уравнения. Эти корни будут определять форму общего решения однородного уравнения. Пусть λ1, λ2, ..., λn - корни характеристического уравнения (нулевые и комплексные корни).

3. Постройте фундаментальную систему решений (ФСР) для однородного уравнения. ФСР - это набор линейно независимых функций, которые образуют общее решение однородного уравнения.

4. Решите неоднородное уравнение для заданной правой части. Ваше решение будет иметь вид:

   y_p(t) = A1 * f1(t) + A2 * f2(t) + ... + An * fn(t),

   где f1(t), f2(t), ..., fn(t) - это частные решения неоднородного уравнения, а A1, A2, ..., An - произвольные постоянные.

5. Общее решение неоднородного уравнения будет представлено в виде суммы общего решения однородного уравнения (полученного на шаге 3) и частного решения неоднородного уравнения (полученного на шаге 4):

   y(t) = y_h(t) + y_p(t),

   где y_h(t) - общее решение однородного уравнения, y_p(t) - частное решение неоднородного уравнения.

Помимо этого общего алгоритма, конкретное решение будет зависеть от вида правой части вашего уравнения. Если у вас есть конкретное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида, уточните его, чтобы я мог предоставить более конкретную инструкцию.