Question

Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Answer 1

1) Решаем ОЛДУ:

$y'' - 5y'+ y = 0$

замена:

$y = {e}^{kx}$

${k}^{2} - 5k + 1 = 0 \\ d = 25 - 4 = 21 \\ k1 = \frac{5 + \sqrt{21} }{2} \\ k2 = \frac{5 - \sqrt{21} }{2} \\ y = C1 {e}^{ \frac{5 + \sqrt{21} }{2}x } + C2 {e}^{ \frac{5 - \sqrt{21} }{2}x }$

2) Подбираем у с неопределёнными коэффициентами:

$у = A {e}^{3x}$

$у' = 3A {e}^{3x} \\ у'' = 9A {e}^{3x}$

Подставляем в НЛДУ:

$9A {e}^{3x} - 15A {e}^{3x} + A {e}^{3x} = 7 {e}^{3x} \\ - 5A {e}^{3x} = 7 {e}^{3x} \\ A = - \frac{7}{5}$

получаем:

$у = - \frac{7}{5} {e}^{3x}$

общее решение:

$y = C1 {e}^{ \frac{5 + \sqrt{21} }{2} x} + C2 {e}^{ \frac{5 - \sqrt{21} }{2}x } - \frac{7}{5} {e}^{3x}$

Answer 2

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:

dy/dx + ay = 0

где "a" - постоянный коэффициент.

Чтобы найти общее решение этого уравнения, мы можем использовать метод разделения переменных. Сначала переносим все члены на одну сторону уравнения:

dy/dx = -ay

Затем делим обе стороны на "-a":

(1/y)dy = (-a)dx

Теперь интегрируем обе стороны:

∫(1/y)dy = ∫(-a)dx

Интегрируя каждую сторону, получим:

ln|y| = -ax + C

Где C - произвольная постоянная интеграции. Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения, чтобы избавиться от логарифма:

|y| = e^(-ax + C)

Мы можем переписать правую сторону с помощью правила экспоненты, e^(C) равно какой-то другой произвольной постоянной K:

|y| = Ke^(-ax)

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если K равно нулю, то решение y(x) = 0.

2. Если K не равно нулю, то общее решение имеет вид:

y(x) = ±Ke^(-ax)

Итак, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами dy/dx + ay = 0 выглядит так:

y(x) = C1e^(-ax) + C2e^(-ax),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.