Question

Найти общее решение или общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными (x+1)dy=(y-1)dx

Answer 1

$(x+1)\, dy=(y-1)\, dx\\\\\int \frac{dy}{y-1}=\int \frac{dx}{x+1}\\\\ln|y-1|=ln|x+1|+lnC\\\\y-1=C\cdot (x+1)\\\\y=C\cdot (x+1)+1$

Answer 2

Для решения данного уравнения с разделяющимися переменными, мы должны перенести все выражения с переменными y и dy на одну сторону уравнения, а выражения с переменными x и dx на другую сторону. Затем проинтегрируем обе стороны уравнения. Давайте начнем:

Исходное уравнение: (x + 1)dy = (y - 1)dx

Разделим обе части уравнения на (x + 1) и (y - 1):

dy / (y - 1) = dx / (x + 1)

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1 / (y - 1)) dy = ∫(1 / (x + 1)) dx

Для интеграла слева, выполним замену переменных: z = y - 1, тогда dz = dy

∫(1 / z) dz = ∫(1 / (x + 1)) dx

ln|z| + C1 = ln|(x + 1)| + C2, где C1 и C2 - постоянные интегрирования.

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения:

|z| = |x + 1| * e^(C2 - C1)

Так как e^(C2 - C1) является константой, обозначим ее как C3:

|z| = C3 * |x + 1|

Теперь вернемся к переменным y и x:

|y - 1| = C3 * |x + 1|

Теперь рассмотрим два случая:

1. C3 = 0:

|y - 1| = 0 * |x + 1|

Это означает, что C3 равно нулю, а значит, исходное уравнение становится идентичным:

(y - 1)dx = 0

Решение этого уравнения дает y = 1.

2. C3 ≠ 0:

|y - 1| = C3 * |x + 1|

Теперь разделим это уравнение на |x + 1|:

|y - 1| / |x + 1| = C3

Так как C3 является константой, обозначим ее как C4:

|y - 1| / |x + 1| = C4

Теперь рассмотрим два подслучая:

а) C4 = 1:

|y - 1| = |x + 1|

Это дает два уравнения:

1. y - 1 = x + 1 y = x + 2

2. y - 1 = -(x + 1) y = -x

б) C4 ≠ 1:

|y - 1| ≠ |x + 1|

В этом случае, мы можем рассмотреть каждый модуль по отдельности:

1. y - 1 = C4 * (x + 1) y = C4 * (x + 1) + 1 y = C4 * x + C4 + 1

2. y - 1 = -C4 * (x + 1) y = -C4 * (x + 1) + 1 y = -C4 * x - C4 + 1 y = -C4 * x + (1 - C4)

Таким образом, общее решение уравнения состоит из трех частей:

1. y = 1
2. y = x + 2
3. y = C4 * x + C4 + 1 (для C4 ≠ 1) или y = -C4 * x + (1 - C4) (для C4 ≠ 1)

Где C4 - произвольная постоянная.