Question

Найти общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными (x^3y^2 + x^6y^2)dx=(x^7y^4+x^7y^5)dy

Answer 1

Формулы интегрирования:

$\int x^n=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} +C,\ n\neq -1$

$\int\dfrac{1}{x} =\ln x+C$

Рассмотрим уравнение:

$(x^3y^2 + x^6y^2)dx=(x^7y^4+x^7y^5)dy$

Вынесем за скобки общие множители:

$x^3y^2(1 + x^3)dx=x^7y^4(1+y)dy$

Разделим обе части уравнения на такие выражения, чтобы результат деления каждой из частей содержал только одну переменную:

$\dfrac{x^3y^2(1 + x^3)}{x^7y^2} dx=\dfrac{x^7y^4(1+y)}{x^7y^2} dy$

$\dfrac{1 + x^3}{x^4} dx=y^2(1+y)dy$

Интегрируем обе части:

$\int \dfrac{1 + x^3}{x^4} dx=\int y^2(1+y)dy$

$\int \left(x^{-4}+\dfrac{1}{x} \right)dx=\int (y^2+y^3)dy$

$\dfrac{x^{-3}}{-3}+\ln x+C=\dfrac{y^3}{3}+\dfrac{y^4}{4}$

Общий интеграл уравнения:

$\boxed{\dfrac{y^3}{3}+\dfrac{y^4}{4}=-\dfrac{1}{3x^3}+\ln x+C}$

Answer 2

Чтобы найти общий интеграл данного уравнения с разделяющимися переменными, мы должны проинтегрировать обе части уравнения относительно соответствующих переменных и затем добавить постоянную интегрирования.

Интегрируем левую часть уравнения по переменной x и правую часть уравнения по переменной y:

∫(x^3y^2 + x^6y^2)dx = ∫(x^7y^4 + x^7y^5)dy

Чтобы интегрировать выражение ∫(x^3y^2 + x^6y^2)dx по x, мы рассматриваем y как постоянную. Получаем:

y^2∫x^3dx + y^2∫x^6dx = ∫(x^7y^4 + x^7y^5)dy

Вычисляем интегралы:

(y^2/4)x^4 + (y^2/7)x^7 = x^7y^4/7 + x^7y^5/8 + C

где C - постоянная интегрирования.

Таким образом, общим интегралом исходного уравнения будет:

(y^2/4)x^4 + (y^2/7)x^7 = x^7y^4/7 + x^7y^5/8 + C

где C - произвольная постоянная.