Question

1. Чему равна сумма квадратов корней уравнения x^2(x+1)(x+1)=0? 2. При каких значениях параметра p квадратное уравнение 2x^2-7x+2p=0 имеет только один корень? 3. Какое число является корнем уравнения 4x^2 - 11x -3=0

Answer 1

$1 ){x}^{2} (x + 1)(x + 1) = 0 \\ {x}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0 \\ x = 0 \: \: and \: x = - 1 \\ {0}^{2} + ( - 1) ^{2} = 1$
2) Уравнение будет иметь один корень,если D=0
$2 {x}^{2} + 7x + 2p = 0 \\ d = 49 - 4 \times 2 \times 2p = 49 - 16p \\ 49 - 16p = 0 \\p = \frac{49}{16}$
3)
${4x}^{2} - 11x - 3 = 0 \\ d = 121 - 4 \times 4 \times ( - 3) = 169 = {13}^{2} \\ x = \frac{11 + 13}{8} = 3 \\ x = \frac{11 - 13}{8} = - \frac{1}{4}$

Answer 2

1. Чтобы найти сумму квадратов корней уравнения, нужно рассмотреть его корни. Уравнение x^2(x+1)(x+1) = 0 имеет три корня: x = 0 и x = -1 (корень "x+1" встречается дважды).

Сумма квадратов корней равна квадрату каждого корня, взятому по модулю, и затем сложенным:

Сумма квадратов корней = |0|^2 + |-1|^2 + |-1|^2 = 0 + 1 + 1 = 2.

2. Чтобы уравнение 2x^2 - 7x + 2p = 0 имело только один корень, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.

В данном случае, уравнение имеет вид 2x^2 - 7x + 2p = 0, где a = 2, b = -7 и c = 2p. Подставим значения в формулу дискриминанта:

D = (-7)^2 - 4 * 2 * 2p D = 49 - 16p.

Чтобы уравнение имело только один корень, D должно быть равно нулю:

49 - 16p = 0.

Теперь решим уравнение относительно параметра p:

16p = 49, p = 49 / 16, p = 3.0625.

Таким образом, уравнение 2x^2 - 7x + 2p = 0 имеет только один корень при p = 3.0625.

3. Чтобы найти корни уравнения 4x^2 - 11x - 3 = 0, можно использовать квадратное уравнение или применить методы факторизации или квадратного уравнения.

Если применим квадратное уравнение, то для уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, корни можно найти по формуле:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.

В данном случае, a = 4, b = -11 и c = -3. Подставим значения в формулу:

x = (11 ± √((-11)^2 - 4 * 4 * -3)) / 2 * 4 x = (11 ± √(121 + 48)) / 8 x = (11 ± √169) / 8 x = (11 ± 13) / 8.

Таким образом, получаем два корня:

1. x = (11 + 13) / 8 = 24 / 8 = 3.
2. x = (11 - 13) / 8 = -2 / 8 = -0.25.

Итак, корни уравнения 4x^2 - 11x - 3 = 0 равны x = 3 и x = -0.25.