Question

Найдите значение производной функции f(x)=6cos x +2sin x при х= пи/4

Answer 1

f(x) = 6cosx + 2sinx,                          x₀ = π/4

f'(x) = -6sinx + 2cosx

f'(x₀) = f'(π/4) = -6sin(π/4) + 2cos(π/4) = -6 · √2/2 + 2 · √2/2 = -3√2 + √2 = -2√2

Ответ

-2√2

Answer 2

$f(x) = 6cos(x)+ 2sin(x)$

Найдём производную f'(x)

$f'(x) = (6cos(x)+2sin(x))' = (6cos(x))'+(2sin(x))' = -6sin(x) + 2cos(x)$

Подставим в f'(x) x = π/4

$f'(\frac{\pi}{4}) = -6sin\frac{\pi}{4} + 2cos\frac{\pi}{4}= -6\cdot \frac{\sqrt2}{2} + 2\cdot \frac{\sqrt2}{2} = -4\frac{\sqrt2}{2} = -2\sqrt2$

Ответ: $-2\sqrt2$

Answer 3

Чтобы найти значение производной функции f(x) = 6cos(x) + 2sin(x) в точке x = π/4, нужно сначала найти саму производную и затем подставить значение x.

Первоначально найдем производную функции f(x):

f(x) = 6cos(x) + 2sin(x)

Производная cos(x) равна -sin(x), а производная sin(x) равна cos(x). Используя эти производные, найдем производную f'(x):

f'(x) = d/dx (6cos(x) + 2sin(x)) f'(x) = -6sin(x) + 2cos(x)

Теперь, чтобы найти значение производной в точке x = π/4, подставим x в f'(x):

f'(π/4) = -6sin(π/4) + 2cos(π/4)

Значение sin(π/4) и cos(π/4) можно найти, зная, что это точка на единичном круге, где sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2:

f'(π/4) = -6 * (1/√2) + 2 * (1/√2) f'(π/4) = -6/√2 + 2/√2 f'(π/4) = (-6 + 2) / √2 f'(π/4) = -4 / √2

Чтобы избавиться от знаменателя √2 в числителе, домножим и поделим на √2:

f'(π/4) = (-4 / √2) * (√2 / √2) f'(π/4) = -4√2 / 2 f'(π/4) = -2√2

Таким образом, значение производной функции f(x) = 6cos(x) + 2sin(x) в точке x = π/4 равно -2√2.