Question

докажите что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3 делится нацело на 9

Answer 1

$1) {1}^{3} + {2}^{3} = 1 + 8 = 9 = > 9 \div 9 = 1$
$2) {4}^{3} + {5}^{3} = 64 + 125 = 189÷9 = > 21$
также и с 7 и 8, 10 и 11 и т.д. и т.п

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение:

Пусть у нас есть два последовательных натуральных числа: n и n+1 (где n - натуральное число).

Тогда сумма кубов этих чисел будет:

n^3 + (n+1)^3

Разложим кубы по формуле суммы кубов:

n^3 + (n+1)^3 = n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)

Теперь объединим слагаемые:

n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) = 2n^3 + 3n^2 + 3n + 1

Теперь докажем, что данное выражение делится на 9, но само по себе не делится на 9.

Для этого рассмотрим остатки при делении на 3 для каждого из слагаемых:

1. Остаток от деления n^3 на 3: n^3 делится на 3, если n делится на 3, иначе остаток будет 1 (потому что n^3 - натуральное число).

2. Остаток от деления 3n^2 на 3: 3n^2 всегда делится на 3, так как любое натуральное число, умноженное на 3, делится на 3.

3. Остаток от деления 3n на 3: 3n всегда делится на 3, так как любое натуральное число, умноженное на 3, делится на 3.

4. Остаток от деления 1 на 3: 1 делится нацело на 3 (1 = 3 * 0 + 1).

Теперь рассмотрим их сумму:

(остаток от n^3) + (остаток от 3n^2) + (остаток от 3n) + (остаток от 1) = 1 + 0 + 0 + 1 = 2

Таким образом, сумма кубов двух последовательных натуральных чисел n и n+1 имеет остаток 2 при делении на 3.

Теперь докажем, что она делится нацело на 9:

2n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = n(2n^2 + 3n + 3) + 1

Выражение 2n^2 + 3n + 3 всегда четное, так как все его коэффициенты четные. Пусть это выражение равно 2k, где k - некоторое целое число.

Тогда:

n(2n^2 + 3n + 3) + 1 = n(2k) + 1 = 2kn + 1

Заметим, что 2kn делится на 9, так как k - целое число. Остается остаток 1 при делении на 9 только от 1.

Таким образом, 2kn + 1 делится нацело на 9.

Мы доказали, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел n и n+1 не делится нацело на 9, но сама по себе делится на 9.