Question

Найдите область определения и множество значений квадратичной функции f(x)=-2(x+3)(x-5)распишите подробно.​

Answer 1

Раскроем скобки и представим в стандартной записи квадратного трёхчлена.

$f(x)=-2(x^2-2x-15)=\\f(x)=-2(x^2-2*1x+1^2-1^2)+30\\f(x)=-2(x-1)^2+32$

И так, это парабола ветви, которой вниз. Область определения все числа. Координаты вершины по оси ординат 32, значит каким бы большим квадрат (х-1) не был бы большим значение функции не будет больше, чем 32. Область значений (-∞;32].

Ответы: D(f(x)): R. E(x): (-∞;32].

Answer 2

Чтобы найти область определения и множество значений квадратичной функции $f(x) = -2(x + 3)(x - 5)$, нужно учитывать два аспекта:

1. Область определения (Domain): Область определения функции - это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае, функция представлена квадратичным многочленом, и такой многочлен определен для любого значения $x$. То есть, область определения данной функции - это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

2. Множество значений (Range): Множество значений функции - это множество всех возможных значений $f(x)$, когда $x$ пробегает всю область определения функции. Для квадратичных функций в общем случае множество значений также будет всем множеством действительных чисел $\mathbb{R}$.

Чтобы дать более наглядное представление о множестве значений функции $f(x) = -2(x + 3)(x - 5)$, можно провести анализ исходной функции:

$f(x) = -2(x + 3)(x - 5)$

Это квадратичная функция, умножение квадратичного многочлена на коэффициент $-2$ только изменит направление ветвей параболы, но не повлияет на множество значений.

Квадратичные функции $y = ax^2 + bx + c$ имеют форму параболы, и их множество значений будет определяться в зависимости от знака коэффициента $a$:

1. Если $a > 0$, то парабола открывается вверх, и множество значений будет ограничено снизу. В этом случае, парабола имеет минимальное значение (вершина параболы) в точке $(h, k)$, где $h = -\frac{b}{2a}$ и $k = f(h)$.

2. Если $a < 0$, то парабола открывается вниз, и множество значений будет ограничено сверху. В этом случае, парабола имеет максимальное значение (вершина параболы) в точке $(h, k)$, где $h = -\frac{b}{2a}$ и $k = f(h)$.

В нашем случае, у функции $f(x) = -2(x + 3)(x - 5)$ коэффициент $a = -2 < 0$, значит, парабола открывается вниз и будет иметь максимальное значение. Вершина параболы будет находиться в точке $(h, k)$, где $h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-(0)}{2(-2)} = 0$ и $k = f(h) = f(0) = -2(0 + 3)(0 - 5) = -2 \cdot (-3) \cdot (-5) = -30$.

Таким образом, максимальное значение функции $f(x)$ равно $-30$. А так как парабола открывается вниз и не имеет нижней границы, множество значений функции $f(x)$ будет $(-\infty, -30]$, где $-\infty$ обозначает отрицательную бесконечность.