Question

Знайдіть ординату точки перетину графіків функцій y=log2 X и y=5-log2(x+14)

Answer 1

Надо приравнять log2(х) = 5 - log2(x+14).

log2(х) + log2(x+14) = 5.

Сумма логарифмов равна логарифму произведения, а цифру 5 представим так: 5 =  log2(32).

log2(х*(x+14)) =  log2(32).

При равных основаниях логарифмирумые выражения равны.

х*(x+14) =  32. Раскроем скобки:

х² + 14х - 32 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x:  

Ищем дискриминант:

D=14^2-4*1*(-32)=196-4*(-32)=196-(-4*32)=196-(-128)=196+128=324;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√324-14)/(2*1)=(18-14)/2=4/2=2;

x_2=(-√324-14)/(2*1)=(-18-14)/2=-32/2=-16 - не принимаем по ОДЗ.

По значению абсциссы х = 2 находим ординату:

y=log2(2) = 1.

Answer 2

Щоб знайти ординату точки перетину графіків функцій y = log2(x) і y = 5 - log2(x+14), необхідно вирішити рівняння, встановивши обидві функції рівними один одному:

log2(x) = 5 - log2(x + 14)

Спростимо рівняння:

log2(x) + log2(x + 14) = 5

Тепер скористаємося властивостями логарифмів, щоб об'єднати логарифми на лівому боці рівняння:

log2(x * (x + 14)) = 5

Тепер можемо записати рівняння у вигляді рівняння умови:

x * (x + 14) = 2^5

x * (x + 14) = 32

Розпишемо рівняння у квадратний вигляд:

x^2 + 14x - 32 = 0

Тепер розв'яжемо квадратне рівняння. Можна скористатися квадратним дискримінантом, або зробити його факторизацію:

(x + 16)(x - 2) = 0

Таким чином, ми отримали дві можливі знаходження для x:

1. x + 16 = 0 => x = -16
2. x - 2 = 0 => x = 2

Оскільки логарифм визначений лише для додатніх значень, то враховуємо тільки x = 2.

Тепер, щоб знайти ординату точки перетину, підставимо x = 2 в будь-яку з вихідних функцій, наприклад y = log2(2):

y = log2(2) = 1

Отже, точка перетину графіків має координати (2, 1).