Question

Знайдіть найменше ціле значення параметра с, при якому пряма х=с перетинає графік рівняння /x/+5/y/-10=0 тільки у двох точках.

Answer 1

Раскрываем знаки модулей

1) x≥0; y≥0

x+5y-10=0

строим прямую в первой четверти

2)x<0; y≥0

-x+5y-10=0

cтроим прямую во второй четверти

3) x<0; y < 0

-x-5y-10=0

cтроим прямую в третьей  четверти

4) x≥0; y < 0

cтроим прямую в четвёртой  четверти

х-5у-10=0

На рис видно, что при с=-2 прямая

y=-2 пересекает график в одной точке

При c ∈ (-2;2)    пересекает график в двух точках

Наименьшее целое с=-1

Answer 2

Давайте спочатку знайдемо графік рівняння: |x| + 5|y| - 10 = 0

Це рівняння можна розкласти на дві окремі рівняння, враховуючи обмеження на абсолютні значення:

1. |x| + 5|y| = 10 (якщо x ≥ 0 та y ≥ 0)
2. -|x| + 5|y| = 10 (якщо x < 0 та y ≥ 0)

Враховуючи обидва випадки:

1. Якщо x ≥ 0 та y ≥ 0: |x| + 5|y| = 10 x + 5y = 10

2. Якщо x < 0 та y ≥ 0: -|x| + 5|y| = 10 -x + 5y = 10

Тепер давайте знайдемо перетин цих прямих з прямою x = c:

1. Якщо x + 5y = 10: Підставимо x = c: c + 5y = 10 5y = 10 - c y = (10 - c) / 5 y = 2 - c/5

2. Якщо -x + 5y = 10: Підставимо x = c: -c + 5y = 10 5y = 10 + c y = (10 + c) / 5 y = 2 + c/5

Тепер, щоб пряма x = c перетиналася з графіком рівняння лише у двох точках, ці дві точки мають бути різними. Це можливо, якщо обидві y-координати, які ми знайшли, різні:

1. y = 2 - c/5
2. y = 2 + c/5

Тобто 2 - c/5 ≠ 2 + c/5

Спростимо:

2 - c/5 ≠ 2 + c/5 -c/5 ≠ c/5 2c/5 ≠ 0 c ≠ 0

Отже, параметр c не може дорівнювати 0. Це означає, що найменше ціле значення параметра c, при якому пряма x = c перетинає графік рівняння |x| + 5|y| - 10 = 0 тільки у двох точках, буде c = 1.