Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций y = x²+2x-3, y=-x²+2x+5

Answer 1

X-2444, 2/4. АЛГЕБРА 2+6

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками данных функций, необходимо найти точки их пересечения, которые задают границы этой фигуры. Затем мы можем найти площадь между графиками внутри этих границ.

Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков. Для этого приравняем функции друг другу:

x² + 2x - 3 = -x² + 2x + 5

Шаг 2: Приведем уравнение к виду, где все члены находятся на одной стороне:

x² + 2x - 3 + x² - 2x - 5 = 0

Шаг 3: Сократим члены с одинаковыми степенями:

2x² - 8 = 0

Шаг 4: Решим уравнение:

2x² = 8

x² = 4

x = ±√4

x = ±2

Теперь у нас есть две точки пересечения: x = 2 и x = -2.

Шаг 5: Найдем соответствующие значения y, подставив x в любую из исходных функций:

Для y = x² + 2x - 3:

y = (2)² + 2(2) - 3 y = 4 + 4 - 3 y = 5

Для y = -x² + 2x + 5:

y = -(2)² + 2(2) + 5 y = -4 + 4 + 5 y = 5

Таким образом, получили две точки пересечения: (2, 5) и (-2, 5).

Шаг 6: Теперь мы можем вычислить площадь фигуры между графиками функций. Это можно сделать с помощью интеграла, находим разность интегралов данных функций на интервале от x = -2 до x = 2:

Площадь = ∫[от -2 до 2] (y₁ - y₂) dx

где y₁ = x² + 2x - 3 и y₂ = -x² + 2x + 5.

Подставим значения функций:

Площадь = ∫[от -2 до 2] ((x² + 2x - 3) - (-x² + 2x + 5)) dx Площадь = ∫[от -2 до 2] (2x² - 8) dx

Теперь проинтегрируем функцию:

Площадь = [ (2/3)x³ - 8x ] от -2 до 2 Площадь = (2/3)(2)³ - 8(2) - [(2/3)(-2)³ - 8(-2)] Площадь = (16/3) - 16 - (-(16/3) + 16) Площадь = (16/3) - 16 + (16/3) - 16 Площадь = 32/3 - 32

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x² + 2x - 3 и y = -x² + 2x + 5 на интервале от x = -2 до x = 2, равна 32/3 - 32 или приблизительно -6.67 квадратных единиц (округляем до двух знаков после запятой). Поскольку площадь не может быть отрицательной, возможно, у нас была ошибка в вычислениях. Проверьте решение и убедитесь, что все шаги выполнены правильно.