Question

Определить наименьшее положительное значение х, для которого выполняется неравенство 2cos(x−5π/6)≥−1 (ответ в градусах) Решите неравенство sin(x/4−1)≤−√2/2. В ответ запишите количество целых решений неравенства на промежутке [-6;2]

Answer 1

$cos(x-\frac{5\pi }{6})\geq- \frac{1}{2} \\ \\\frac{-2\pi }{3} +2\pi n \leq x- \frac{5\pi }{6} \leq \frac{2\pi }{3} +2\pi n,n\in Z$

Прибавим ко всем частям неравенства

$\frac{5\pi }{6}$

$\frac{-2\pi }{3}+\frac{5\pi }{6} +2\pi n \leq x\leq \frac{2\pi }{3}+\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in Z\\ \\\frac{\pi }{6} +2\pi n \leq x\leq \frac{3\pi }{2}+2\pi n,n\in Z$

Наименьшее положительное x=$\frac{\pi }{6}$

$\frac{-3\pi }{4} +2\pi n \leq \frac{x}{4}-1 \leq \frac{-\pi }{4} +2\pi n,n\in Z\\ \\ 1+\frac{-3\pi }{4} +2\pi n \leq \frac{x}{4} \leq 1+\frac{-\pi }{4} +2\pi n,n\in Z\\ \\4-3\pi+8\pi n \leqx\leq4-\pi+8\pi n, n\in Z$

4-3π≈-5,42>-6

4-π≈0,86<2

Значит целые решения, принадлежащие отрезку [-6;2]

-5;-4;-3;-2;-1;0

О т в е т. 6 целых решений

Answer 2

Давайте решим данные неравенства по порядку:

1. Решение неравенства: 2cos(x - 5π/6) ≥ -1

Начнем с определения интервалов, на которых выполняется неравенство cos(x - 5π/6) ≥ -1:

cos(x - 5π/6) ≥ -1

Так как косинус принимает значения от -1 до 1, то неравенство будет выполнено на всей числовой прямой, т.е., интервал решений -∞ < x < ∞.

Теперь найдем период функции 2cos(x - 5π/6). Косинус имеет период 2π, а здесь угол (x - 5π/6) участвует. Для того чтобы найти период, нужно найти, на сколько угловых единиц изменится аргумент x, чтобы функция вернулась в исходное состояние:

Период = 2π / Коэффициент перед x = 2π / 1 = 2π

Теперь находим наименьшее положительное значение x, для которого 2cos(x - 5π/6) ≥ -1. Это произойдет в точке, где значение косинуса равно -1 и x находится в пределах одного периода:

x - 5π/6 = π + 2kπ, где k - целое число (так как ищем положительные значения x)

x = π + 2kπ + 5π/6

Теперь выберем наименьшее положительное значение x, подставив k = 0:

x = π + 5π/6 = π(1 + 5/6) = π(11/6) ≈ 5.75959 радиан

Теперь переведем это значение в градусы:

x ≈ 5.75959 * (180/π) ≈ 330.5 градусов

Ответ: Наименьшее положительное значение x, для которого выполняется неравенство 2cos(x - 5π/6) ≥ -1, равно приблизительно 330.5 градусов.

2. Решение неравенства: sin(x/4 - 1) ≤ -√2/2

Начнем с определения интервалов, на которых выполняется неравенство sin(x/4 - 1) ≤ -√2/2:

sin(x/4 - 1) ≤ -√2/2

Рассмотрим сначала условие sin(x/4 - 1) = -√2/2. Это значение синуса достигается, когда его аргумент находится в следующих точках:

x/4 - 1 = -π/4 + 2kπ, где k - целое число

x/4 = -π/4 + 2kπ + 1

x = -π + 8kπ + 4

Теперь найдем точки, где sin(x/4 - 1) = √2/2. Это значение синуса также достигается, когда его аргумент находится в следующих точках:

x/4 - 1 = π/4 + 2kπ, где k - целое число

x/4 = π/4 + 2kπ + 1

x = π + 8kπ + 4

Теперь у нас есть две последовательности точек, в которых неравенство может изменить свое направление:

1. x = -π + 8kπ + 4
2. x = π + 8kπ + 4

Проверим значения x, приходящиеся на интервал [-6; 2]:

-6 ≤ x ≤ 2

1. x = -π + 8kπ + 4: -6 ≤ -π + 8kπ + 4 ≤ 2 -6 - 4 ≤ 8kπ ≤ 2 + π -10 ≤ 8kπ ≤ 2 + π

Наименьшее значение k, при котором выполняется неравенство, равно k = -1 (при k = 0 неравенство не выполняется). Подставим k = -1:

x = -π + 8(-1)π + 4 x = -π - 8π + 4 x = -9π + 4 ≈ -25.13274 радиан

Теперь переведем это значение в градусы:

x ≈ -25.13274 * (180/π) ≈ -1441.21 градус

2. x = π + 8kπ + 4: -6 ≤ π + 8kπ + 4 ≤ 2 -6 - 4 - π ≤ 8kπ ≤ 2 -10 - π/8 ≤ kπ ≤ 2

Какое бы k мы ни выбрали, значения kπ всегда будут лежать между -π и π, следовательно, интервал решений не содержит точек на данном отрезке.

Ответ: Неравенство sin(x/4 - 1) ≤ -√2/2 не имеет решений на промежутке [-6; 2].

Итак, суммируя результаты:

1. Наименьшее положительное значение x, для которого выполняется неравенство 2cos(x - 5π/6) ≥ -1, равно приблизительно 330.5 градусов.

2. Неравенство sin(x/4 - 1) ≤ -√2/2 не имеет решений на промежутке [-6; 2].