Question

Вычислите: S от 1 до 3 (x^2-2x)dx

Answer 1

₁∫³ (x² - 2x)dx = x³/3 - x² ₁|³ = (27/3 - 9) - (1/3 - 1) = 2/3

Answer 2

Для вычисления интеграла S от 1 до 3 (x^2 - 2x)dx, нам необходимо найти первообразную этой функции и затем применить пределы интегрирования.

1. Найдем первообразную функцию F(x) для (x^2 - 2x). Для этого проинтегрируем каждый член по отдельности: ∫(x^2 - 2x)dx = ∫x^2 dx - ∫2x dx

   Для ∫x^2 dx можно использовать стандартную формулу интегрирования степенной функции: ∫x^2 dx = (x^(2+1))/(2+1) + C1 = x^3/3 + C1

   Для ∫2x dx можно также использовать стандартную формулу интегрирования линейной функции: ∫2x dx = 2 * ∫x dx = 2 * (x^1)/(1) + C2 = 2x + C2

   Где C1 и C2 - произвольные постоянные интегрирования.

   Таким образом, F(x) = x^3/3 + 2x + C, где C = C1 + C2 - произвольная постоянная интегрирования.

2. Теперь применим пределы интегрирования: S от 1 до 3 (x^2 - 2x)dx = F(3) - F(1) S от 1 до 3 (x^2 - 2x)dx = [(3)^3/3 + 2 * 3 + C] - [(1)^3/3 + 2 * 1 + C]

   Постоянные интегрирования C сокращаются, и получаем: S от 1 до 3 (x^2 - 2x)dx = (27/3 + 6) - (1/3 + 2) S от 1 до 3 (x^2 - 2x)dx = (9 + 6) - (1/3 + 6) S от 1 до 3 (x^2 - 2x)dx = 15 - (1/3 + 6) S от 1 до 3 (x^2 - 2x)dx = 15 - (1/3 + 18/3) S от 1 до 3 (x^2 - 2x)dx = 15 - 19/3

   Итак, окончательный результат: S от 1 до 3 (x^2 - 2x)dx = 15 - 19/3 = 15 - 6.333... ≈ 8.6667