Question

Знайти похідну функції y=(2x-1)(1-x^2)

Answer 1

$y=(2x-1)(1-x^2)\\y'=(2x-1)'(1-x^2)+(2x-1)(1-x^2)'=\\(2*1-0)(1-x^2)+(2x-1)(0-2x^{2-1})=\\2-2x^2-4x^2+2x=-6x^2+2x+2=\\-6(x-1/6)^2+13/6$

Answer 2

Для знаходження похідної функції $y$ за $x$ застосовуємо правила диференціювання. Зокрема, використаємо правило добутку і ланцюжка.

Почнемо з розкриття дужок в добутку $(2x - 1)(1 - x^2)$:

$y = (2x - 1)(1 - x^2) = 2x - 2x^3 - 1 + x^2$.

Тепер можемо обчислити похідну $y$ за $x$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x - 2x^3 - 1 + x^2)$.

Застосуємо правило диференціювання для кожного члена:

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(x^2)$.

Похідна стала $\frac{d}{dx}(1)$ дорівнює нулю, оскільки похідна будь-якої константи дорівнює нулю.

Далі, використовуючи правило потужностей, знайдемо похідну $\frac{d}{dx}(x^2)$:

$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$.

Тепер, знайдемо похідну $\frac{d}{dx}(2x^3)$:

Множник 2 - константа, тому можемо винести її за дужки:

$\frac{d}{dx}(2x^3) = 2 \cdot \frac{d}{dx}(x^3)$.

Застосуємо правило потужностей для $x^3$:

$\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$.

Тепер, підставимо отримані значення назад у вираз для $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = 2 - 2 \cdot 3x^2 - 0 + 2x$.

Спростимо вираз:

$\frac{dy}{dx} = 2 - 6x^2 + 2x$.

Таким чином, похідна функції $y$ за $x$ дорівнює $2 - 6x^2 + 2x$.