Question

Остаток при деление x¹⁰⁰+x⁹⁹+1 на x²-1 получается ax+b.Найти 2a+b

Answer 1

$x^{100}+x^{99}+1=(x^2-1)Q(x)+ax+b$

$\begin{cases}1^{100}+1^{99}+1=(1^2-1)Q(x)+a \cdot 1+b\\ (-1)^{100}+(-1)^{99}+1=((-1)^2-1)Q(x)+a \cdot (-1)+b\end{cases}$

$\begin{cases}1+1+1=(1-1)Q(x)+a+b\\ 1-1+1=(1-1)Q(x)-a+b\end{cases}$

$\begin{cases}a+b=3\\ -a+b=1\end{cases}$

+_____________

$2b=4\ /:2$

$b=2$

$\begin{cases}a+b=3\\ b=2\end{cases}$

$\begin{cases}a+2=3\\ b=2\end{cases}$

$\begin{cases}a=3-2\\ b=2\end{cases}$

$\begin{cases}a=1\\ b=2\end{cases}$

$2a+b =2 \cdot 1+2=2+2=4$

Ответ: 4

Answer 2

Для решения данной задачи нам необходимо найти остаток при делении многочлена x¹⁰⁰ + x⁹⁹ + 1 на многочлен x² - 1.

Мы можем воспользоваться алгоритмом деления полиномов, похожим на деление чисел. В этом алгоритме мы делим старшие члены многочленов, чтобы получить старший член результата, затем вычитаем произведение делителя и частного из делимого, чтобы получить новый многочлен с меньшей степенью, и продолжаем процесс до тех пор, пока степень делимого не станет меньше степени делителя.

Посмотрим на деление:

Copy code
 x⁹⁹ + x¹⁰⁰ + 1

---

x² - 1 | x¹⁰⁰ + x⁹⁹ + 0x⁹⁸ + 0x⁹⁷ + ... + 0x² + 1 -(x¹⁰⁰ + 0x⁹⁹ - x² - 0x)

markdownCopy code
                  x⁹⁹ + x² + 1
         - (x⁹⁹ + 0x² - 1)

---

markdownCopy code
                              2x² + 2
         - (2x² - 2)

---

markdownCopy code
                                     4

После завершения деления, остаток равен 4. Теперь мы знаем, что остаток при делении x¹⁰⁰ + x⁹⁹ + 1 на x² - 1 равен 4.

Далее, нам нужно найти значения коэффициентов a и b. Результат деления имеет вид ax + b, где a равно коэффициенту при x в частном, а b - остатке. В нашем случае, у нас остаток равен 4, значит, b = 4.

Чтобы найти a, разделим старший член делимого на старший член делителя:

a = x⁹⁹ / x² = x⁹⁹ * x⁻² = x⁹⁷

Таким образом, a = x⁹⁷.

Теперь, чтобы найти значение 2a + b:

2a + b = 2(x⁹⁷) + 4 = 2x⁹⁷ + 4.

Вот итоговый ответ: 2a + b = 2x⁹⁷ + 4.