Question

Постройте график функции: у=х-3/х+1. Ребят, помогите! Ооочень надо (тут надо использовать производную, я попытался решить, но получилось что-то непонятное : ) Прошу помощи у более понимающих).

Answer 1

Исследование функции

Answer 2

Давайте построим график функции $y = \frac{x-3}{x+1}$. Прежде чем использовать производную, давайте проанализируем функцию и её поведение.

Функция $y = \frac{x-3}{x+1}$ является рациональной функцией. Помните, что в рациональных функциях значения $x$, при которых знаменатель равен нулю ($x+1 = 0$), называются точками разрыва. В данном случае, у нас будет вертикальный асимптота в точке $x = -1$.

Теперь, чтобы проанализировать поведение функции, найдем асимптоты, интервалы возрастания и убывания, а также экстремумы.

1. Найдем вертикальную асимптоту: $x + 1 = 0 \implies x = -1$

2. Найдем горизонтальную асимптоту (при $x$ стремящемся к бесконечности): $y = \lim_{{x \to \infty}} \frac{x-3}{x+1} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{1 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{1-0}{1+0} = 1$

3. Теперь найдем точку пересечения с осью $y$ (когда $x = 0$): $y = \frac{0-3}{0+1} = -3$

Таким образом, мы знаем следующие характеристики функции:

• Вертикальная асимптота: $x = -1$
• Горизонтальная асимптота: $y = 1$
• Точка пересечения с осью $y$: $(0, -3)$

Теперь давайте построим график функции. Я использую Python и библиотеку Matplotlib для построения графиков.

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Определяем функцию
def f(x):
    return (x - 3) / (x + 1)

# Создаем массив значений для x от -10 до 10
x = np.linspace(-10, 10, 400)

# Вычисляем значения функции для каждого значения x
y = f(x)

# Строим график
plt.plot(x, y, label='y=(x-3)/(x+1)')

# Добавляем вертикальную асимптоту
plt.axvline(x=-1, color='r', linestyle='--', label='x=-1')

# Добавляем горизонтальную асимптоту
plt.axhline(y=1, color='g', linestyle='--', label='y=1')

# Добавляем точку пересечения с осью y
plt.scatter(0, -3, color='b', label='(0, -3)')

# Добавляем подписи к осям и легенду
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()

# Устанавливаем пределы по осям
plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-10, 10)

# Показываем график
plt.grid(True)
plt.show()

На графике вы увидите функцию $y = \frac{x-3}{x+1}$, вертикальную асимптоту $x = -1$, горизонтальную асимптоту $y = 1$ и точку пересечения с осью $y$ $(0, -3)$.

Надеюсь, это поможет вам лучше понять поведение функции! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.