Question

5.В уравнении х² - р х +1 4 = 0 один из его корней равен ( - 7). Найдите другой корень и коэффициент р.

Answer 1

По теореме Виета:

$\sf x_1\cdot x_2=14~~~\Leftrightarrow~~~ -7x_2=14~~~\Leftrightarrow~~~ \boxed{\sf x_2=-2}\\ \\ x_1+x_2=p~~~\Leftrightarrow~~~ -7-2=p~~~\Leftrightarrow~~~ \boxed{\sf p=-9}$

Answer 2

Для данного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = -p$, и $c = 14$, известен один из корней, равный $-7$.

Уравнение с одним известным корнем может быть записано как произведение двух линейных множителей, поскольку корни уравнения равны $x = -7$ и $x = x_2$, где $x_2$ - другой корень, который нужно найти.

Таким образом, уравнение можно записать как: $(x + 7)(x - x_2) = 0$

Для нахождения другого корня ($x_2$), мы можем использовать это уравнение и раскрыть скобки: $x^2 - x_2x + 7x - 7x_2 = 0$

Теперь мы можем выделить общий множитель в первых двух членах и последних двух членах: $x(x - x_2) + 7(x - x_2) = 0$

Заметим, что $x - x_2$ является общим множителем, поэтому его можно вынести за скобки: $(x - x_2)(x + 7) = 0$

Так как уравнение равно нулю, это значит, что один из множителей должен быть равен нулю: $x - x_2 = 0 \quad \text{или} \quad x + 7 = 0$

1. $x - x_2 = 0$
   Это означает, что $x_2 = x$, то есть оба корня равны $-7$. Однако, в условии задачи указано, что один из корней равен $-7$, и это нам уже известно.

2. $x + 7 = 0$
   Теперь найдем значение $x$: $x = -7$

Таким образом, второй корень уравнения равен $-7$. Чтобы найти коэффициент $p$, сравним уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ с данной формулой: $x^2 - px + 14 = 0$. Заметим, что коэффициент перед $x$ равен $-p$, и, следовательно, $p = -(-7) = 7$.

Итак, другой корень уравнения $x^2 - px + 14 = 0$ равен $-7$, а коэффициент $p$ равен $7$.