Question

Написать уравнение плоскости, параллельно прямой Оу и проходящей через точки М1 (2,4,-1) и М2(6,1,5)

Answer 1

Даны точки М1 (2,4,-1) и М2(6,1,5)

Спроецируем их на плоскость ХОZ и получим прямую АВ.

Это будет след заданной плоскости, параллельной оси Оу.

Уравнение АВ по двум точкам с учётом, что у = 0: (x - 2)/4 = (z+ 1)/6 или в общем виде 3x - 2z - 8 = 0.

Находим отрезки на осях координат, отсекаемые искомой плоскостью.

Возьмём точку В на прямой АВ.  Она пересекает Оz на расстоянии, получаемом из подобия треугольников.

(2/(6 - 2) = Δz/(5 - (-1)),

2/4 = Δz/6,  Δz = 2*6/4 = 3. Так как точка пересечения с осью Oz лежит  ниже точки В, то приращение Δz отрицательно.

z = -1 - 3 = -4.

На оси Ох аналогично: Δх/-4 = 2/-3, отсюда Δх = 2*(-4)/(-3) = 8/3.

Если плоскость пересекает оси OX, OY и OZ в точках с координатами (a, 0, 0), (0, b, 0) и (0, 0, с), то она может быть найдена, используя формулу уравнения плоскости в отрезках:

(x/a) + (y/b) + (z/c) = 1.

Ось ОУ не пересекается, то есть b=0 и это слагаемое отсутствует.

Подставим значения отрезков в уравнение:

(x/(8/3) + (z/(-4)) = 1.

После преобразования получим уравнение плоскости:

3x - 2z - 8 = 0.

Answer 2

Чтобы найти уравнение плоскости, параллельной оси Oy и проходящей через точки M1(2, 4, -1) и M2(6, 1, 5), мы можем использовать следующий подход.

1. Найдем вектор направления прямой, проходящей через точки M1 и M2.
2. Так как искомая плоскость параллельна оси Oy, ее нормальный вектор будет иметь компоненты [0, 1, 0].
3. Используем найденный вектор направления и нормальный вектор для записи уравнения плоскости.

Шаг 1: Найдем вектор направления прямой, проходящей через точки M1 и M2. Вектор направления можно получить, вычислив разницу между координатами точек M1 и M2:

Вектор направления d = M2 - M1 = (6, 1, 5) - (2, 4, -1) = (4, -3, 6)

Шаг 2: Найдем нормальный вектор плоскости. Так как искомая плоскость параллельна оси Oy, ее нормальный вектор будет иметь компоненты [0, 1, 0].

Нормальный вектор n = [0, 1, 0]

Шаг 3: Запишем уравнение плоскости с использованием найденного вектора направления и нормального вектора.

Уравнение плоскости имеет следующий вид: n · (r - r0) = 0

где n - нормальный вектор плоскости, r - вектор любой точки на плоскости, r0 - вектор точки, через которую проходит плоскость.

Подставим известные значения:

[0, 1, 0] · ([x, y, z] - [2, 4, -1]) = 0

[0, 1, 0] · [x - 2, y - 4, z + 1] = 0

Так как скалярное произведение равно нулю, получим:

y - 4 = 0

Таким образом, уравнение плоскости, параллельной оси Oy и проходящей через точки M1(2, 4, -1) и M2(6, 1, 5), имеет вид:

y - 4 = 0