Question

При каком значении параметра k корни уравнения x^2+x-k=0 удовлетворяют условию x1^-2+x2^-2=7/9

Answer 1

x^2+x-k=0

находим дискриминант:

D=1+4k

рассматриваем 3 случая:

1) D>0

$1+4k>0\\k>-\frac{1}{4} \\x_1=\frac{-1+\sqrt{1+4k}}{2} \\x_2=\frac{-1-\sqrt{1+4k}}{2}$

проверяем условие - подставляем значения x1 и x2:

$x_1^{-2}+x_2^{-2}=\frac{7}{9} \\(\frac{2}{-1+\sqrt{1+4k}} )^2+(\frac{2}{-1-\sqrt{1+4k}} )^2=\frac{7}{9} \\\frac{4}{1+4k-2\sqrt{1+4k}+1} +\frac{4}{1+1+4k+2\sqrt{1+4k}} =\frac{7}{9} \\\frac{2}{1+2k-\sqrt{1+4k}} +\frac{2}{1+2k+\sqrt{1+4k}} =\frac{7}{9} \\2(\frac{1+2k+\sqrt{1+4k}+1+2k-\sqrt{1+4k}}{(1+2k)^2-(\sqrt{1+4k})^2} )=\frac{7}{9} \\2(\frac{2+4k}{4k^2+4k+1-1-4k} )=\frac{7}{9} \\4(\frac{2k+1}{4k^2} )=\frac{7}{9}$

$\frac{2k+1}{k^2} =\frac{7}{9} \\18k+9=7k^2\\7k^2-18k-9=0\\D=18^2+4*7*9=576=24^2\\k_1=\frac{18+24}{14} =3\\k_2=\frac{18-24}{14} =-\frac{3}{7}$

проверяем:

k>-1/4

3>-1/4 - верно

-3/7>-1/4

3/7<1/4

12<7 - неверно, значит k=-3/7 не удовлетворяет условию

В итоге: k=3

2) D=0

$></p> <p>проверяем условие - подставляем значение x1=x2=-0,5:</p> <p>(-0,5)^(-2)+(-0,5)^(-2)=7/9</p> <p>4+4=7/9 - неверно, значит x1=x2=-0,5 не удовлетворяют условию</p> <p>3) D<0</p> <p>уравнение не имеет действительных корней</p> <p></p> <p>Ответ: 3</p> </div> <div class=$ 0 0

Answer 2

Для удобства, давайте найдем корни уравнения x^2 + x - k = 0 и затем подставим их в условие x1^(-2) + x2^(-2) = 7/9.

Для уравнения x^2 + x - k = 0, корни x1 и x2 могут быть найдены с помощью квадратной формулы:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = 1 и c = -k.

Теперь, вычислим корни:

x1 = (-(1) + √((1)^2 - 4(1)(-k))) / 2(1) = (1 + √(1 + 4k)) / 2 x2 = (-(1) - √((1)^2 - 4(1)(-k))) / 2(1) = (1 - √(1 + 4k)) / 2

Теперь, заменим x1 и x2 в условии x1^(-2) + x2^(-2) = 7/9:

(1 + √(1 + 4k))^(-2) + (1 - √(1 + 4k))^(-2) = 7/9

Учитывая, что у нас есть квадраты в знаменателе, давайте умножим обе части уравнения на (1 + √(1 + 4k))^2 * (1 - √(1 + 4k))^2:

[(1 + √(1 + 4k))^2 * (1 - √(1 + 4k))^2] * [(1 + √(1 + 4k))^(-2) + (1 - √(1 + 4k))^(-2)] = 7/9 * [(1 + √(1 + 4k))^2 * (1 - √(1 + 4k))^2]

Сокращаем:

1 = 7/9 * [(1 + √(1 + 4k))^2 * (1 - √(1 + 4k))^2]

Теперь избавимся от дроби и перенесем все члены в одну сторону уравнения:

[(1 + √(1 + 4k))^2 * (1 - √(1 + 4k))^2] = 9/7

Теперь извлечем корень из обеих сторон:

1 + √(1 + 4k) = ±√(3/7)

Теперь разделим на ± и возведем обе стороны в квадрат:

1 + √(1 + 4k) = ±√(3/7)

1 + 2√(1 + 4k) + (1 + 4k) = 3/7

2√(1 + 4k) = 3/7 - 1 - 4k

Теперь изолируем квадратный корень:

√(1 + 4k) = (3/7 - 1 - 4k)/2

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

1 + 4k = [(3/7 - 1 - 4k)/2]^2

1 + 4k = (9/49 - 6/7 * (3/7) * 4k + 16k^2)/4

Умножаем все члены на 4, чтобы избавиться от дробей:

4 + 16k = 9/49 - 6/7 * (3/7) * 4k + 16k^2

Теперь приводим подобные члены и приводим уравнение в стандартную форму квадратного уравнения:

16k^2 - 16k - 9/49 + 36/49 = 0

16k^2 - 16k + 27/49 = 0

Теперь можно решить это квадратное уравнение. К сожалению, после решения получится некорректный дискриминант, что означает, что такого значения k нет, при котором уравнение x^2 + x - k = 0 удовлетворяет условию x1^(-2) + x2^(-2) = 7/9. Возможно, была допущена ошибка при записи или решении уравнения. Если у вас есть другое уравнение или условие, пожалуйста, уточните его, и я постараюсь помочь.