Question

Помогите решить log₂(x -1) + log₂(x² +1/(x-1)) ≤ 2 log₂(x²+(x-1)/2)

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте выполним следующие шаги:

Шаг 1: Применим свойства логарифмов Напомним несколько свойств логарифмов, которые нам понадобятся:

1. log(a) + log(b) = log(a * b)
2. log(a) - log(b) = log(a / b)
3. log(a^n) = n * log(a)

Шаг 2: Приведем выражения под логарифмами к общему знаменателю Обратим внимание, что в неравенстве у нас есть три логарифма с разными выражениями под ними. Чтобы проще работать с такими неравенствами, нам необходимо привести выражения под логарифмами к общему знаменателю. В данном случае общим знаменателем будет x - 1.

log₂(x - 1) + log₂(x² + 1 / (x - 1)) ≤ 2 log₂(x² + (x - 1) / 2)

Приведем выражения под логарифмами к общему знаменателю:

log₂(x - 1) + log₂((x²(x - 1) + 1) / (x - 1)) ≤ 2 log₂((x² + (x - 1) / 2)(x - 1) / (x - 1))

Шаг 3: Упростим выражения под логарифмами Для упрощения можно применить свойство 1 логарифма (log(a) + log(b) = log(a * b)):

log₂(x - 1) + log₂(x²(x - 1) + 1) - log₂(x - 1) ≤ 2 log₂(x² + (x - 1) / 2)

Убираем одинаковые слагаемые:

log₂(x²(x - 1) + 1) ≤ 2 log₂(x² + (x - 1) / 2)

Шаг 4: Применим свойство 3 логарифма (log(a^n) = n * log(a))

log₂(x²(x - 1) + 1) ≤ log₂((x² + (x - 1) / 2)²)

Шаг 5: Уберем логарифмы и решим неравенство

x²(x - 1) + 1 ≤ (x² + (x - 1) / 2)²

Шаг 6: Разрешим квадратное уравнение

Раскроем скобки и упростим выражение:

x^4 - 3x^3 + x^2 - 2x + 1 ≤ x^4 - x^3 + 5/4 * x^2 - 1/2 * x + 1/4

x^4 - 3x^3 + x^2 - 2x + 1 - x^4 + x^3 - 5/4 * x^2 + 1/2 * x - 1/4 ≤ 0

Упростим уравнение, сократив одинаковые слагаемые:

-2x^3 - 1/4 * x^2 - 3/2 * x + 1 ≤ 0

Шаг 7: Решим неравенство

Теперь мы имеем кубическое уравнение, которое не может быть решено аналитически в общем случае. Мы можем использовать численные методы для нахождения приближенных значений x. Используем, например, метод бисекции (или другие численные методы), чтобы определить интервалы, на которых выполняется неравенство.

Для получения более конкретного ответа, пожалуйста, уточните диапазон значений x, которые вас интересуют.