Question

Найдите значение выражения:5sin^4a-5cos^4a+2 если cos2a=1/8

Answer 1

$cos2a=\frac{1}{8}\\\\5\, sin^4a-5\, cos^4a+2=5\cdot (sin^2a-cos^2a)(sin^2a+cos^2a)+2=\\\\=-5\cdot (cos^2a-sin^2a)\cdot 1+2=-5\cdot cos2a+2=-5\cdot \frac{1}{8}+2=\\\\=-\frac{5}{8}+2=\frac{11}{8}=1,375$

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте сначала найдем значения синуса и косинуса угла "a" с помощью уравнения cos(2a) = 1/8.

Известно, что:

cos(2a) = 1/8

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством для cos(2a):

cos(2a) = 2cos^2(a) - 1

Подставим значение из условия:

1/8 = 2cos^2(a) - 1

2cos^2(a) = 1 + 1/8 2cos^2(a) = 9/8

Теперь найдем значение cos^2(a):

cos^2(a) = (9/8) / 2 cos^2(a) = 9/16

Теперь найдем значение sin^2(a) с помощью тождества:

sin^2(a) = 1 - cos^2(a) sin^2(a) = 1 - 9/16 sin^2(a) = 7/16

Теперь, зная sin^2(a) и cos^2(a), найдем синус и косинус угла "a":

sin(a) = √(sin^2(a)) = √(7/16) = √7 / 4

cos(a) = √(cos^2(a)) = √(9/16) = 3/4

Теперь мы можем найти значение выражения:

5sin^4(a) - 5cos^4(a) + 2

Подставим значения sin(a) и cos(a):

5(√7/4)^4 - 5(3/4)^4 + 2

Вычислим:

5(7/16)^2 - 5(9/64)^2 + 2

5(49/256) - 5(81/4096) + 2

(245/256) - (405/4096) + 2

(245/256) - (405/4096) + (512/256)

Теперь приведем все слагаемые к общему знаменателю:

(245*16 - 405 + 1024) / 256

(3920 - 405 + 1024) / 256

(4519) / 256

Таким образом, значение выражения равно:

4519 / 256 ≈ 17.6836

Итак, приближенное значение выражения равно 17.6836.