Question

Решите дифференциальные уравнения 8у'-4y=0 9xy'-y=0

Answer 1

Ответ: 1) y=C*e^(x/2), 2) y=C*x^(1/9).

Объяснение:

1) Перепишем уравнение в виде 2*y'=y, или 2*dy/dx=y, или 2*dy/y=dx. Отсюда 2*∫dy/y=dx, или 2*ln(y)=x+C1, ln(y)=x/2+C1/2, y=e^(x/2+C1/2)=e^(x/2)*e^(C1/2)=C*e^(x/2), где C=e^(С1/2).

2) Перепишем уравнение в виде 9*y'=y/x, или 9*dy/dx=y/x, или 9*dy/y=dx/x. Отсюда 9*∫dy/y=∫dx/x, или 9*ln(y)=ln(x)+ln(C1)=ln(C1*x). Тогда ln(y⁹)=ln(C1*x), y⁹=C1*x, y=C*x^(1/9), где C=C1^(1/9).  

Answer 2

Для решения дифференциальных уравнений сначала найдем производные функций y(x).

1. Уравнение: 8у' - 4y = 0

Для начала, разделим уравнение на 4:

2у' - y = 0

Теперь выразим у':

2у' = y

y' = y/2

Теперь найдем общее решение этого дифференциального уравнения:

dy/dx = y/2

dy/y = (1/2) dx

∫(1/y) dy = ∫(1/2) dx

ln|y| = (1/2) x + C₁, где C₁ - произвольная постоянная

Теперь найдем y:

|y| = e^((1/2)x + C₁) = e^(1/2)x * e^(C₁)

|y| = C₂ * e^(1/2)x, где C₂ = e^(C₁) - положительная произвольная постоянная

y = ±C₂ * e^(1/2)x

Таким образом, общее решение уравнения 8y' - 4y = 0 имеет вид:

y = C * e^(1/2)x, где C - произвольная постоянная.

2. Уравнение: 9xy' - y = 0

Теперь разделим уравнение на y:

9xy' = y

y'/y = 1/(9x)

Теперь найдем общее решение этого дифференциального уравнения:

dy/dx = 1/(9x)

dy = (1/9x) dx

∫1 dy = ∫(1/9x) dx

y = ln|x|/9 + C₃, где C₃ - произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение уравнения 9xy' - y = 0 имеет вид:

y = ln|x|/9 + C₃, где C₃ - произвольная постоянная.

Пожалуйста, обратите внимание, что в обоих уравнениях C, C₂ и C₃ - произвольные постоянные, которые могут принимать любые значения. Это называется общим решением дифференциальных уравнений. Для получения частного решения, необходимо задать начальные условия (например, значения y и y' при определенном значении x).