Question

6. Может ли квадратное уравнение ax2+bx+c=0 с целыми коэффициентами иметь дискриминант, равный 27?

Answer 1

Предположим, что может.

 b²-4ac=27;  4ac=b²-27;  Выражение справа делится на 4, значит, должно делиться на 4 и выражение b²-24-3.

-24 делится на 4, осталось выяснить, делится ли  в²-3 на 4

Очевидно, что b должно быть нечетным, т. е. иметь вид b=2n+1, т.к. если от четного отнять 3, то получим нечетное, а оно не делится на 4.  

Подставим   (4n²+4n+1)-3=4n²+4n-2  =(4n²+4n)-2

Последнее выражение не делится на 4. Значит, предположение  - ложно.   И ни при каких целых a, b, c дискриминант квадратного уравнения не может быть равным 27.

Answer 2

Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac. Чтобы узнать, может ли квадратное уравнение с целыми коэффициентами иметь дискриминант, равный 27, нужно определить, существуют ли такие целые значения a, b и c, для которых D = 27.

Зная, что D = 27, можно записать уравнение:

27 = b^2 - 4ac

Теперь остается выяснить, существуют ли такие целые значения b, a и c, удовлетворяющие этому уравнению.

Можно заметить, что 27 является нечетным числом. Рассмотрим возможные варианты:

1. Если b = 0, тогда уравнение примет вид 27 = -4ac, но правая часть является четным числом, что приводит к противоречию.

2. Если b = 1, тогда уравнение примет вид 27 = 1 - 4ac. Но здесь также нет целых значений a и c, которые удовлетворяют уравнению.

3. Если b = -1, уравнение будет таким: 27 = 1 - 4ac. Также здесь нет целых значений a и c, удовлетворяющих уравнению.

4. Если b = 2 или b = -2, уравнение будет не иметь решений, так как 27 не является квадратом целого числа, и часть b^2 - 4ac будет всегда меньше 27.

5. Если b > 2 или b < -2, то разница между b^2 и 4ac будет еще больше, что делает невозможным уравнение D = 27.

Таким образом, квадратное уравнение ax^2 + bx + c = 0 с целыми коэффициентами не может иметь дискриминант, равный 27.