Question

Доведіть, що при будь-якому натуральному n значення виразу 3^n+2 - 2^n+2 + 3^n - 2^n ділиться націло на 10

Answer 1

3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² + 3ⁿ - 2ⁿ = 3ⁿ⁺² + 3ⁿ- 2ⁿ⁺²  - 2ⁿ = 3ⁿ(3² + 1) - 2ⁿ(2² + 1) = 3ⁿ·10 - 2ⁿ·5 = 3ⁿ·10 - 2ⁿ⁻¹·2·5 = 3ⁿ·10 - 2ⁿ⁻¹·10 = 10( 3ⁿ - 2ⁿ⁻¹)

Оскільки вираз 10( 3ⁿ - 2ⁿ⁻¹) ділиться націло на 10 , то і 3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺² + 3ⁿ - 2ⁿ також ділиться націло на 10.

Answer 2

Для доведення, що вираз $3^n + 2 - 2^n + 2 + 3^n - 2^n$ ділиться націло на 10 для будь-якого натурального $n$, ми можемо використати індукцію.

Крок бази: Перевіримо, що вираз виконується для $n = 1$:

$3^1 + 2 - 2^1 + 2 + 3^1 - 2^1 = 3 + 2 - 2 + 2 + 3 - 2 = 6$.

6 ділиться націло на 10, тому базовий випадок вірний.

Крок припущення: Припустимо, що вираз виконується для деякого $k$, де $k$ - довільне натуральне число:

$3^k + 2 - 2^k + 2 + 3^k - 2^k = 3 \cdot 3^k - 2 \cdot 2^k + 2$.

Крок індукції: Тепер доведемо, що вираз виконується для $k+1$:

$3^{k+1} + 2 - 2^{k+1} + 2 + 3^{k+1} - 2^{k+1} = 3 \cdot 3^k \cdot 3 + 2 - 2 \cdot 2^k \cdot 2 + 2 + 3 \cdot 3^k - 2 \cdot 2^k$.

Замінимо $3 \cdot 3^k$ на $3^{k+1}$ і $2 \cdot 2^k$ на $2^{k+1}$:

$= 3^{k+1} + 2^{k+1} + 3^{k+1} - 2^{k+1}$.

Тепер можемо спростити вираз:

$= 2 \cdot 3^{k+1} - 2 \cdot 2^{k+1} + 2$.

Згідно з припущенням, $2 \cdot 3^{k+1} - 2 \cdot 2^{k+1} + 2$ ділиться націло на 10 (так як $k+1$ також є натуральним числом).

Отже, ми довели, що якщо вираз $3^n + 2 - 2^n + 2 + 3^n - 2^n$ ділиться націло на 10 для деякого $n$, то він також ділиться націло на 10 для $n+1$. Оскільки базовий випадок $n=1$ був вірним, ми застосували індукцію і показали, що вираз ділиться націло на 10 для всіх натуральних $n$.