Question

На курсе из 100 студентов 38 изучают французский язык, 44 - испанский, 48 - немецкий, 12 изучают французский и испанский, 17 - испанский и немецкий, 20- французский и немецкий, а 15 студентов не изучают ни один из трёх языков. 1) Сколько студентов изучают французский или немецкий язык, но НЕ изучают испанский?2) Сколько студентов изучают только один из трёх языков?3) Сколько студентов изучают два из трёх языков?4) Сколько студентов не изучают ни испанский, ни французский?5) Сколько студентов изучает только испанский?

Answer 1

Ответ:

1) 57

2) 32

3) 49

4) 18

5) 15

Объяснение:

1)

38+48-12-17=57

2)

(38-12-20)+(44-12-17)+(48-17-20)=32

3)

12+17+20=49

4)

100-44-38=18

5)

44-12-17=15

Answer 2

Для решения данной задачи удобно воспользоваться принципом включений-исключений.

Обозначим:

• A - количество студентов, изучающих французский язык,
• B - количество студентов, изучающих испанский язык,
• C - количество студентов, изучающих немецкий язык.

Тогда по условиям задачи имеем: A = 38, B = 44, C = 48, A ∩ B = 12 (изучают французский и испанский), B ∩ C = 17 (изучают испанский и немецкий), A ∩ C = 20 (изучают французский и немецкий), A ∩ B ∩ C = 0 (изучают все три языка), (A ∪ B ∪ C) = 100 - 15 = 85 (всего изучают хотя бы один язык).

1. Сколько студентов изучают французский или немецкий язык, но не изучают испанский? Мы ищем количество студентов в множествах (A ∩ ¬B ∩ ¬C) и (¬A ∩ B ∩ ¬C). То есть, студентов изучающих французский и немецкий, но не изучающих испанский, а также студентов изучающих испанский и немецкий, но не изучающих французский.

(A ∩ ¬B ∩ ¬C) = (A ∩ C) - (A ∩ B ∩ C) = 20 - 0 = 20 (¬A ∩ B ∩ ¬C) = (B ∩ C) - (A ∩ B ∩ C) = 17 - 0 = 17

Общее количество студентов изучающих французский или немецкий язык, но не изучающих испанский: 20 + 17 = 37 студентов.

2. Сколько студентов изучают только один из трёх языков? Ищем количество студентов в множествах (A ∩ ¬B ∩ ¬C), (¬A ∩ B ∩ ¬C) и (¬A ∩ ¬B ∩ C). То есть, студентов, изучающих только французский, только испанский и только немецкий языки.

(A ∩ ¬B ∩ ¬C) = 20 (из предыдущего пункта), (¬A ∩ B ∩ ¬C) = 17 (из предыдущего пункта), (¬A ∩ ¬B ∩ C) = (C - B ∩ C) = 48 - 17 = 31.

Общее количество студентов, изучающих только один из трех языков: 20 + 17 + 31 = 68 студентов.

3. Сколько студентов изучают два из трёх языков? Ищем количество студентов в множествах (A ∩ B ∩ ¬C), (A ∩ ¬B ∩ C) и (¬A ∩ B ∩ C). То есть, студентов, изучающих французский и испанский, французский и немецкий, испанский и немецкий языки.

(A ∩ B ∩ ¬C) = 12 (из условия), (A ∩ ¬B ∩ C) = 20 (из предыдущего пункта), (¬A ∩ B ∩ C) = 17 (из предыдущего пункта).

Общее количество студентов, изучающих два из трех языков: 12 + 20 + 17 = 49 студентов.

4. Сколько студентов не изучают ни испанский, ни французский? Ищем количество студентов, которые не изучают ни один из трех языков.

Не изучают ни один из трех языков: 15 студентов.

5. Сколько студентов изучает только испанский? Изучают испанский и немецкий, но не изучают французский: (¬A ∩ B ∩ C) = 17 (из предыдущего пункта). Изучают только испанский: B - (¬A ∩ B ∩ C) = 44 - 17 = 27 студентов.