Question

Найдите первый член геометрической прогрессии, знаменатель которого равна 2, сумма первых семи членов 40, сумма первых восьми членов 126.

Answer 1

$S_{8}=126\\\\S_{7} =40\\\\b_{8}=S_{8}-S_{7}=126-40=86\\\\b_{8}=b_{1}*q^{7}\\\\b_{1}=\frac{b_{8} }{q^{7}}=\frac{86}{2^{7}}=\frac{86}{128}=\frac{43}{64}\\\\Otvet:b_{1}=\frac{43}{64}$

Answer 2

Для нахождения первого члена (а) геометрической прогрессии исходим из формул для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Сумма первых n членов геометрической прогрессии: S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1),

где a - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - количество членов прогрессии.

Мы знаем, что знаменатель (q) равен 2.

1. Сумма первых семи членов (S_7) равна 40:

40 = a * (2^7 - 1) / (2 - 1) 40 = a * (128 - 1) / 1 40 = a * 127 a = 40 / 127 a ≈ 0.31496 (округляем до пятого знака после запятой).

2. Сумма первых восьми членов (S_8) равна 126:

126 = a * (2^8 - 1) / (2 - 1) 126 = a * (256 - 1) / 1 126 = a * 255 a = 126 / 255 a ≈ 0.49412 (округляем до пятого знака после запятой).

Мы получили два значения для первого члена геометрической прогрессии: около 0.31496 и около 0.49412. Но обратите внимание, что сумма первых восьми членов геометрической прогрессии также должна включать сумму первых семи членов.

Проверим:

0.31496 * (2^7 - 1) / (2 - 1) ≈ 40.00001, 0.49412 * (2^8 - 1) / (2 - 1) ≈ 126.

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен примерно 0.31496.