Question

При каких значениях a сумма квадратов двух различных корней уравнения x²-4ax+5a=0 равна 6?​

Answer 1

Ответ:

-3/8.

Объяснение:

1) x²-4ax+5a=0

Если х1 и х2 - корни уравнения, то по теореме Виета

х1 + х2 = 4а и х1•х2 = 5а.

2) Сумма квадратов двух корней уравнения

(х1)^2 + (х2)^2 =(х1 + х2)^2 - 2•х1•х2 = (4а)^2 - 2•5а = 16а^2 -10а.

По условию эта сумма равна 6, тогда

16а^2 -10а = 6

16а^2 -10а - 6 = 0

8а^2 - 5а - 3 = 0

D = 25 -4•8•(-3) = 25 + 96 = 121

a =(5±11):16

a1 = 1

a2 = -6:16 = -3/8

3) Проверим, что при найденных значениях уравнение имеет два различных действительных корня.

✓При а=1 уравнение примет вид x²-4x+5=0. Дискриминант отрицательный, уравнение корней не имеет.

✓При а= -3/8 уравнение примет вид

x^2 -4•(-3/8)x+5•(-3/8)=0

х^2 +3/2•х - 15/8 = 0

8х^2 + 12х - 15 = 0

D =144 + 4•8•15 = 144+480=624>0, уравнение имеет два различных корня

Ответ: -3/8.

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо найти значения параметра a, при которых сумма квадратов двух различных корней уравнения x² - 4ax + 5a = 0 равна 6.

Для начала, давайте найдем корни уравнения. Мы можем использовать квадратное уравнение и формулу дискриминанта.

Дискриминант (D) для уравнения вида ax² + bx + c = 0 определяется как D = b² - 4ac.

В данном случае у нас есть уравнение x² - 4ax + 5a = 0. Сравнивая с общим видом квадратного уравнения, мы можем увидеть, что a = 1, b = -4a и c = 5a.

Теперь мы можем вычислить дискриминант:

D = (-4a)² - 4 * 1 * 5a = 16a² - 20a = 4a(4a - 5).

Зная дискриминант, мы можем рассмотреть два случая:

1. D > 0: Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два различных вещественных корня.

2. D = 0: Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень с кратностью 2.

Для заданной суммы квадратов корней, равной 6, мы исключаем второй случай (D = 0), поскольку там будет только один корень.

Теперь рассмотрим первый случай (D > 0):

D > 0 4a(4a - 5) > 0.

Здесь мы имеем два множителя: 4a и (4a - 5). При D > 0, один из этих множителей должен быть положительным, а другой - отрицательным.

1. Пусть 4a > 0, тогда (4a - 5) < 0. Решаем неравенство: 4a - 5 < 0 4a < 5 a < 5/4.

2. Пусть 4a < 0, тогда (4a - 5) > 0. Решаем неравенство: 4a - 5 > 0 4a > 5 a > 5/4.

Итак, получаем два неравенства:

a < 5/4 и a > 5/4.

Эти неравенства означают, что значение параметра a должно быть между 5/4 и 5/4 (то есть a ≠ 5/4).

Таким образом, решение задачи: значения параметра a, при которых сумма квадратов двух различных корней уравнения x² - 4ax + 5a = 0 равна 6, это любое значение a, не равное 5/4.