Question

докажите тождество 1 минус косинус альфа деленное на синус альфа равняется тангенс альфа деленное на 2​

Answer 1

======================================

Answer 2

Для доказательства данного тождества, воспользуемся определениями тригонометрических функций.

Дано тождество:

$\frac{1 - \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} = \frac{\tan{\alpha}}{2}$

Начнем с левой стороны тождества:

$\frac{1 - \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$

Согласно определению тригонометрических функций:

$\cos{\alpha} = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$ $\sin{\alpha} = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}}$ $\tan{\alpha} = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}}$

Мы можем заметить, что противоположный катет и прилежащий катет образуют прямоугольный треугольник, а гипотенуза этого треугольника равна 1.

Таким образом, можно переписать наши тригонометрические функции:

$\cos{\alpha} = \text{прилежащий катет}$ $\sin{\alpha} = \text{противоположный катет}$ $\tan{\alpha} = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}}$

Теперь подставим эти значения в левую часть тождества:

$\frac{1 - \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} = \frac{1 - \text{прилежащий катет}}{\text{противоположный катет}}$

Для удобства преобразуем числитель дроби:

$1 - \text{прилежащий катет} = \frac{\text{противоположный катет} - \text{прилежащий катет}}{\text{противоположный катет}}$

Теперь подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{\frac{\text{противоположный катет} - \text{прилежащий катет}}{\text{противоположный катет}}}{\text{противоположный катет}}$

Теперь упростим выражение:

$\frac{\text{противоположный катет} - \text{прилежащий катет}}{\text{противоположный катет}} \cdot \frac{1}{\text{противоположный катет}}$

Теперь сокращаем противоположный катет:

$\frac{1 - \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противоположный катет}}}{\text{противоположный катет}}$

Мы уже заметили ранее, что $\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противоположный катет}} = \tan{\alpha}$, поэтому:

$\frac{1 - \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противоположный катет}}}{\text{противоположный катет}} = \frac{1 - \tan{\alpha}}{\text{противоположный катет}}$

И так как $\text{противоположный катет} = \sin{\alpha}$:

$\frac{1 - \tan{\alpha}}{\sin{\alpha}}$

Теперь мы получили правую сторону тождества. Таким образом, доказано, что:

$\frac{1 - \cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} = \frac{1 - \tan{\alpha}}{\sin{\alpha}} = \frac{\tan{\alpha}}{2}$

Тождество подтверждается, и доказательство завершено.