Question

Решить уравнение y’’+8y’+16y=0 если y=3,y’=1, при x=0

Answer 1

$y''+8y'+16y=0\\\\k^2+8k+16=0\\\\(k+4)^2=0\; \; ,\; \; k_{1,2}=-4\\\\y_{obshee}=e^{-4x}\cdot (C_1+C_2\cdot x)\\\\y(0)=3:\; \; 3=e^{0}\cdot (C_1+0)\; \; ,\; \; C_1=3\\\\y'(x)=-4\cdot e^{-4x}\cdot (C_1+C_2\cdot x)+e^{-4x}\cdot C_2=e^{-4x}\cdot (-4C_1-4C_2\cdot x+C_2)\\\\y'(0)=1:\; \; 1=-12+C_2\; \; ,\; \; C_2=13\; ,\\\\y_{chastnoe}=e^{-4x}\cdot (3+13\, x)$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, предполагаем решение в виде y = e^(rx), где r - некоторая константа. Подставим данное предположение в уравнение и найдем значения r:

y'' + 8y' + 16y = 0

Подставляем y = e^(rx):

r^2e^(rx) + 8re^(rx) + 16e^(rx) = 0

Теперь вынесем общий множитель e^(rx):

e^(rx)(r^2 + 8r + 16) = 0

Так как e^(rx) никогда не равно нулю, то у нас есть уравнение для определения r:

r^2 + 8r + 16 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение для r. Используем квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0 и находим значения r:

a = 1, b = 8, c = 16

D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 * 1 * 16 = 64 - 64 = 0

D = 0 означает, что у нас есть два одинаковых корня:

r = (-b ± √D) / (2a) = (-8 ± √0) / (2 * 1) = -8 / 2 = -4

Таким образом, уравнение имеет единственное решение r = -4.

Теперь, чтобы найти частное решение y(x), используем начальные условия:

y = 3 при x = 0 y' = 1 при x = 0

Так как y = e^(rx), то y' = re^(rx).

Подставляем x = 0:

y(0) = e^(r * 0) = e^0 = 1

y'(0) = r * e^(r * 0) = r * 1 = r

Итак, у нас есть:

y(0) = 1 y'(0) = r

Теперь находим конкретное значение r, используя начальные условия:

1 = 3 r = 1

Таким образом, наше частное решение имеет вид:

y(x) = e^(rx) = e^(-4x)

Итак, решением дифференциального уравнения y'' + 8y' + 16y = 0 с начальными условиями y = 3, y' = 1 при x = 0 является функция:

y(x) = e^(-4x)