Question

10 БАЛЛОВ Подробно пожалуйста Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения: 5 - 4cosβ - 3sinβ

Answer 1

f(β) = 5 - 4cosβ - 3sinβ

Находим производную и приравниваем к нулю:

f'(β) = 4sinβ - 3cosβ = 0  ⇒  4sinβ = 3cosβ  ⇒  tgβ = 3/4

β = arctg(3/4) + πn, n ∈ Z

1) Сначала подставим β = arctg(3/4) + 2πk, k ∈ Z

5 - 4cos(arctg(3/4) + 2πk) - 3sin(arctg(3/4) + 2πk) = 5 - 4•cos(arctg(3/4)) - 3sin(arctg(3/4)) = 5 - 4•(4/5) - 3•(3/5) = (25 - 16 - 9)/5 = 0 - это наименьшее значение

2) Подставляем β = arctg(3/4) + π + 2πm, m ∈ Z

5 - 4cos(arctg(3/4) + π + 2πm) - 3sin(arctg(3/4) + π + 2πm) = 5 + 4cos(arctg(3/4)) + 3sin(arctg(3/4)) = 5 + 4•(4/5) + 3•(3/5) = 50/5 = 10 - это наибольшее значение

Ответ: наибольшее значение выражения - 10, наименьшее значение - 0

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения выражения, давайте проанализируем функцию, которая задаёт данное выражение. Пусть f(β) = 5 - 4cos(β) - 3sin(β).

Заметим, что оба тригонометрических члена (cos(β) и sin(β)) могут принимать значения в диапазоне от -1 до 1, поскольку cos и sin - это тригонометрические функции, которые никогда не выходят за этот предел.

Максимальное и минимальное значение f(β) будет достигаться, когда члены -4cos(β) и -3sin(β) имеют свои наибольшие и наименьшие значения соответственно (-4 и -3), так как они имеют отрицательные коэффициенты.

Таким образом, наибольшее значение f(β) будет равно: f_max(β) = 5 - 4cos(β) - 3sin(β) ≤ 5 - 4(-1) - 3(-1) = 5 + 4 + 3 = 12.

Наименьшее значение f(β) будет равно: f_min(β) = 5 - 4cos(β) - 3sin(β) ≥ 5 - 4(1) - 3(1) = 5 - 4 - 3 = -2.

Таким образом, наибольшее значение выражения равно 12, а наименьшее значение равно -2.