Question

Решите неравенство | х+ 2| − х |х| ≤ 0.

Answer 1

$|x+2|\leq x|x|$

При условии x > 0 возводим обе части неравенства в квадрат.

$|x+2|^2\leq (x|x|)^2\\ \\ (x+2)^2-x^4\leq 0$

В левой части неравенства применим формулу разность квадратов

$(x+2-x^2)(x+2+x^2)\leq 0\\ \\ (x^2-x-2)(\underbrace{x^2+x+2}_{>0})\geq0\\ \\ x^2-x-2\geq 0\\ \\ (x-2)(x+1)\geq 0$

____+___[-1]___-____[2]___+_____

Получим x ∈ (-∞; -1] ∪ [2;+∞). С учетом того, что x > 0, получим ответ неравенства x ∈ [2;+∞).

Ответ: x ∈ [2;+∞).

Answer 2

Для решения данного неравенства, нам необходимо разбить его на несколько случаев, учитывая различные значения переменной x.

1. Если x ≥ 0: В этом случае, х |х| = x^2, а |х + 2| = x + 2. Теперь мы можем переписать исходное неравенство: (x + 2) - x^2 ≤ 0 Раскроем скобки: x + 2 - x^2 ≤ 0 Перенесем все члены в одну сторону: -x^2 + x + 2 ≤ 0 Перепишем в виде квадратного уравнения: -x^2 + x + 2 = 0 Решив это квадратное уравнение, найдем два значения x: x1 = -1 и x2 = 2 Однако, мы ищем значения x ≥ 0, поэтому решение данного случая будет x = 2.

2. Если x < 0: В этом случае, х |х| = -x^2, а |х + 2| = -(x + 2). Теперь мы можем переписать исходное неравенство: -(x + 2) - x^2 ≤ 0 Раскроем скобки: -x - 2 - x^2 ≤ 0 Перенесем все члены в одну сторону: -x^2 - x - 2 ≤ 0 Перепишем в виде квадратного уравнения: -x^2 - x - 2 = 0 Решив это квадратное уравнение, найдем два значения x: x3 ≈ -2.732 и x4 ≈ 0.732 Однако, мы ищем значения x < 0, поэтому решение данного случая будет x = -2.732.

Таким образом, решения неравенства |х + 2| − х |х| ≤ 0 являются x = -2.732 и x = 2.