Question

Доказать методом математической индукции что выражение 3^(4n-1)-25n^2-17 кратно 5

Answer 1

1) База индукции: n = 1

$3^{4\cdot 1-1}-25\cdot 1^2-17=-15~\vdots~5$ - выполнено

2) Предположим что и для $n=k$ выражение $\left(3^{4k-1}-25k^2-17\right)~\vdots~5$

3) Индукционный переход: $n=k+1$

$3^{4(k+1)-1}-25(k+1)^2-17=3^{4k+3}-25(k^2+2k+1)-17=\\ \\ =81\cdot 3^{4k-1}-25k^2-50k-25-17=81\cdot 3^{4k-1}-81\cdot 25k^2+80\cdot 25k^2-\\ \\ -50k-81\cdot 17+80\cdot 17=81\left(\underbrace{3^{4k-1}-25k^2-17}_{div~ 5}\right)+80\cdot 25k^2-50k+80\cdot 17$

Первое слагаемое делится на 5 по предположению (пункт 2). Остальные слагаемые тоже делятся на 5, поскольку их коэффициенты делятся на 5. Значит, исходное выражение кратно 5 для всех натуральных n.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения методом математической индукции, мы должны выполнить два шага:

Шаг 1: Базисный шаг В базисном шаге мы покажем, что утверждение верно для n = 1.

Подставим n = 1 в выражение: 3^(4n-1) - 25n^2 - 17 = 3^(41-1) - 251^2 - 17 = 3^3 - 25 - 17 = 27 - 25 - 17 = 5

Мы видим, что значение выражения равно 5, которое является кратным 5. Таким образом, базисный шаг выполнен.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для некоторого положительного целого числа k, то есть 3^(4k-1) - 25k^2 - 17 кратно 5.

Шаг 3: Индукционный переход Мы должны показать, что утверждение верно для k + 1, то есть 3^(4(k+1)-1) - 25(k+1)^2 - 17 кратно 5.

Разложим выражение для k + 1: 3^(4(k+1)-1) - 25(k+1)^2 - 17 = 3^(4k+3) - 25(k^2 + 2k + 1) - 17.

Мы можем представить 3^(4k+3) в виде 3^3 * 3^(4k), что равно 27 * 3^(4k).

Подставим это обратно в выражение: 27 * 3^(4k) - 25(k^2 + 2k + 1) - 17 = 27 * 3^(4k) - 25k^2 - 50k - 25 - 17.

Давайте рассмотрим выражение 27 * 3^(4k). Явно видно, что 27 кратно 5.

Теперь рассмотрим оставшуюся часть -25k^2 - 50k - 25 - 17. Заметим, что каждый член кратен 5 (так как -25, -50 и -25 кратны 5).

Таким образом, мы имеем выражение, где все его члены кратны 5.

Поэтому, 3^(4(k+1)-1) - 25(k+1)^2 - 17 кратно 5.

Так как мы выполнили базисный шаг и показали, что если утверждение верно для некоторого k, то оно верно и для k + 1, то мы можем сделать вывод, что утверждение верно для всех положительных целых чисел n по методу математической индукции.