Question

На преодоление 15 км по течению и 18 км против течения путешественник на катере затратил 1 ч 45 мин. Найдите скорость катера и скорость течения реки, если за 15 мин катер может пройти по течению 5 км. Составить систему уравнений

Answer 1

Пусть х км/ч  собственная скорость катера (ОДЗ x>0)

у км/ч скорость течения реки (ОДЗ y>0),

тогда

(х+у) км/ч  скорость катера по течению

(х-у) км/ч  скорость катера против течения

По условию 15 км по течению и 18 км против течения пройдено за 1 ч 45 мин., иначе 1ч 45 мин = 1 ³/₄ часа,

Получаем первое уравнение:  

$\frac{15}{x+y}+\frac{18}{x-y}=1\frac{3}{4}$

По условию 5 км по течению катер проходит 15 мин., иначе 15 мин =  ¹/₄ часа,

Получаем второе уравнение:

$\frac{5}{x+y}=\frac{1}{4}$

Система уравнений:

$\left\{{{\frac{15}{x+y}+\frac{18}{x-y}=1\frac{3}{4}}\atop{\frac{5}{x+y} =\frac{1}{4} }} \right.$

Решаем её.

$\left\{{{\frac{15}{x+y}+\frac{18}{x-y}=\frac{7}{4}}\atop{\frac{5}{x+y} =\frac{1}{4} }} \right.$

Из второго уравнения выразим (x+y):

$\frac{5}{x+y}=\frac{1}{4}=>(x+y)*1=5*4$

$(x+y)=20$

Подставим в первое:

$\frac{15}{20}+\frac{18}{x-y}=\frac{7}{4}$

$\frac{3}{4}+\frac{18}{x-y}=\frac{7}{4}$

$\frac{18}{x-y}=\frac{7}{4}-\frac{3}{4}$

$\frac{18}{x-y}=1$

$x-y=18$

Решаем упрощенную систему:

$\left \{{{x+y=20} \atop {x-y=18}} \right.$

Сложим:

$x+y+x-y=20+18$

$2x=38$

$x=38:2$

$x=19$

тогда

$19-y=18$

$y=19-18$

$y=1$

Ответ: 19 км/ч  собственная скорость катера;

          1 км/ч скорость течения реки

Answer 2

Предположим, что скорость катера относительно неподвижной воды составляет v км/ч, а скорость течения реки - c км/ч.

Используем формулу расстояния, время и скорости:

Для пути по течению: расстояние = скорость × время 15 = (v + c) × (1 + 45/60) -> (1)

Для пути против течения: расстояние = скорость × время 18 = (v - c) × (1 + 45/60) -> (2)

Из условия, что за 15 минут катер может пройти по течению 5 км, можем составить еще одно уравнение:

5 = (v + c) × (15/60) -> (3)

Теперь у нас есть система из трех уравнений, которую можно решить, чтобы найти значения v (скорость катера) и c (скорость течения).

(1) 15 = (v + c) × (1 + 45/60) (2) 18 = (v - c) × (1 + 45/60) (3) 5 = (v + c) × (15/60)