Question

Решите неравенство 1) |3x+1|<4 2) |2x-5|≥x-1 3) |5-2x|>1 4) |x|+|x+3|<5 По быстрее можно пжжж

Answer 1

$1)\;\; \; |3x+1|$

$4)\; \; \; |x|+|x+3|$

Answer 2

Ответ:

1) x ∈ ($-\frac{5}{3}$, 1)

2) x ∈  (-∞, 2] U [4, +∞)

3) x ∈ (-∞, 2) U (3, +∞)

4) x ∈ (-4, 1)

Объяснения:

1) |3x + 1| < 4.

Рассмотрим возможные случаи:

[  3x + 1 < 4, 3x + 1 ≥ 0                    [  x < 1, x ≥ $-\frac{1}{3}$

|                                             ⇔      |

[  - (3x + 1) < 4, 3x + 1 < 0                [  x > $-\frac{5}{3}$, x < $-\frac{1}{3}$

[  x ∈ [$-\frac{1}{3}$, 1)              [  

|                                                 ⇔      |  x ∈ ($-\frac{5}{3}$, 1)

[  x ∈ ($-\frac{5}{3}$, $-\frac{1}{3}$) [  

2) |2x - 5| ≥ x - 1

|2x - 5| - x ≥ -1

Рассмотрим возможные случаи:

[  2x - 5 - x ≥ - 1, 2x - 5 ≥ 0                    [  x ≥ 4, x ≥ $\frac{5}{2}$

|                                             ⇔             |

[  - (2x - 5) - x ≥ -1, 2x - 5 < 0                 [  x ≤ 2, x < $\frac{5}{2}$

[  x ∈ [4, +∞)                [  

|                           ⇔    |  x ∈  (-∞, 2] U [4, +∞)

[  x ∈ (-∞, 2]                 [  

3) |5 - 2x| > 1

Рассмотрим возможные случаи:

[  5 - 2x > 1, 5 - 2x ≥ 0                    [  x < 2, x ≤ $\frac{5}{2}$

|                                             ⇔      |

[  - (5 - 2x) > 1, 5 - 2x < 0                [  x > 3, x > $\frac{5}{2}$

[  x ∈ (-∞, 2)                   [  

|                           ⇔      |  x ∈ (-∞, 2) U (3, +∞)

[  x ∈ (3, +∞)                  [          

4) |x| + |x + 3| < 5

Рассмотрим возможные случаи:

[  x + x + 3 < 5, x ≥0, x + 3 ≥ 0                   [  x < 1, x ≥ 0, x ≥ -3

[  -x + x + 3 < 5, x < 0, x + 3 ≥ 0                 [  x ∈ R, x < 0, x ≥ -3

|                                                            ⇔  |

[  x - (x + 3) < 5, x ≥ 0, x + 3 < 0                 [  x ∈ R, x ≥ 0, x < -3

[  -x - (x+3) < 5, x <0, x + 3 < 0                   [  x > -4, x < 0, x < -3

[  x < 1, x ∈ [0, +∞)                    [  x ∈ [0, 1)               [

[  x ∈ R, x ∈ [-3,0)                     [  x ∈ [-3, 0)             [

|                                          ⇔  |                          ⇔ |  x ∈ (-4, 1)

[  x ∈ R, x ∈ ∅                           [  x ∈ ∅                    [

[  x > -4, x ∈ (-∞, 3)                   [  x ∈ (-4, -3)             [

Answer 3

Давайте решим каждое неравенство по очереди:

1. |3x + 1| < 4:

Начнем с того, что разделим это неравенство на два случая:

a) 3x + 1 < 4: Тогда вычитаем 1 с обеих сторон: 3x < 3 Делим на 3: x < 1

b) -(3x + 1) < 4: Удаляем отрицательный знак, обращаем неравенство: 3x + 1 > -4 Вычитаем 1 с обеих сторон: 3x > -5 Делим на 3: x > -5/3

Таким образом, решение для данного неравенства: -5/3 < x < 1.

2. |2x - 5| ≥ x - 1:

a) 2x - 5 ≥ x - 1: Вычитаем x и добавляем 5 с обеих сторон: x ≥ 4

b) -(2x - 5) ≥ x - 1: Удаляем отрицательный знак, обращаем неравенство: -2x + 5 ≥ x - 1 Вычитаем 5 и добавляем 2x с обеих сторон: 0 ≥ 3x - 6 Добавляем 6 с обеих сторон: 6 ≥ 3x Делим на 3: 2 ≥ x

Таким образом, решение для данного неравенства: x ≥ 4 или x ≤ 2.

3. |5 - 2x| > 1:

a) 5 - 2x > 1: Вычитаем 5 с обеих сторон: -2x > -4 Делим на -2 (и меняем направление неравенства): x < 2

b) -(5 - 2x) > 1: Удаляем отрицательный знак, обращаем неравенство: 5 - 2x < -1 Вычитаем 5 с обеих сторон: -2x < -6 Делим на -2 (и меняем направление неравенства): x > 3

Таким образом, решение для данного неравенства: x < 2 или x > 3.

4. |x| + |x + 3| < 5:

Разделим это неравенство на два случая, в зависимости от знака x:

a) x ≥ 0: Тогда |x| = x и |x + 3| = |x + 3|. Подставляем значения: x + |x + 3| < 5 Рассмотрим два подслучая: i) x + x + 3 < 5: 2x + 3 < 5 2x < 2 x < 1 ii) -(x + x + 3) < 5: -2x - 3 < 5 -2x < 8 x > -4 (помните, что направление неравенства меняется при умножении на -1)

Таким образом, решение для данного случая: -4 < x < 1.

b) x < 0: Тогда |x| = -x и |x + 3| = |x + 3|. Подставляем значения: -x + |x + 3| < 5 Рассмотрим два подслучая: i) -x + x + 3 < 5: 3 < 5 (всегда выполняется) ii) -(-x) + x + 3 < 5: x + x + 3 < 5 2x + 3 < 5 2x < 2 x < 1

Таким образом, решение для данного случая: x < 1.

Таким образом, общее решение для данного неравенства: x < 1.