Question

Тема комплексные числа. Дам 100 баллов, кто сделает быстрее. Срочно надо. Разложить многочлен x^4-2x^3+3x^2+4x-10 на множители(необязательно действительные), если один из корней равен 1+2i.

Answer 1

Имеем один комплексный корень, в разложении многочлена $x^4-2x^3+3x^2+4x-10$ есть множитель трехчлен, два корня которого комплексно сопряженные, т.е. корни 1 ± 2i

Сумма корней: $1+2i+1-2i=2$

Произведение корней: $(1+2i)(1-2i)=1+4=5$

Значит данный многочлен содержит множитель $x^2-2x+5$. Следовательно, можем разложить на множители в виде одночленов суммы нескольких

$x^4-2x^3+3x^2+4x-10=x^4-2x^2-2x^3+4x+5x^2-10=\\ \\ =x^2(x^2-2)-2x(x^2-2)+5(x^2-2)=(x^2-2)(x^2-2x+5)$

Answer 2

Для разложения многочлена на множители, если известен один из его комплексных корней, можно использовать теорему о корнях многочлена.

Теорема о корнях многочлена: Если a+bi является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то его комплексно сопряженное число a-bi также является корнем того же многочлена.

Итак, если 1+2i является корнем многочлена x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 4x - 10, то его комплексно сопряженное число 1-2i также является корнем этого многочлена.

Теперь найдем линейные множители, связанные с этими корнями:

1. Множитель с корнем 1+2i: Если (x - (1+2i)) является линейным множителем, то (x - (1-2i)) тоже будет множителем.

2. Множитель с корнем 1-2i: Если (x - (1-2i)) является линейным множителем, то (x - (1+2i)) также будет множителем.

Теперь у нас есть два линейных множителя, соответствующих корням 1+2i и 1-2i:

(x - (1+2i))(x - (1-2i)) = ((x - 1) - 2i)((x - 1) + 2i) = (x - 1)^2 - (2i)^2 = (x - 1)^2 + 4 = x^2 - 2x + 5

Теперь нам нужно разложить оставшийся квадратный трехчлен (x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 4x - 10) на множители. Мы уже вычислили, что x^2 - 2x + 5 является множителем этого многочлена. Для того чтобы найти оставшийся множитель, мы можем выполнить деление многочлена (x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 4x - 10) на (x^2 - 2x + 5). Результатом деления будет оставшийся множитель.

(x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 4x - 10) / (x^2 - 2x + 5) = x^2 + 0x + 2

Таким образом, многочлен можно разложить на множители:

x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 4x - 10 = (x^2 - 2x + 5)(x^2 + 2)

Итоговый результат: x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 4x - 10 разлагается на множители (необязательно действительные) как (x^2 - 2x + 5)(x^2 + 2).