Question

Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,4. Написать закон распределения случайной величины X - числа попаданий в цель при семи выстрелах

Answer 1

Случайная величина X распределена по биномиальному закону.

Всего n = 7 испытаний. Вероятность успеха в одном испытании равна p = 0.4, тогда q = 1 - р = 0.6

1) Вероятность того, что стрелок попадет в цель ни разу

$P(X=0)=q^7=0.6^7$

2) Вероятность того, что стрелок попадет в цель один раз

$P(X=1)=C^1_7pq^6=7\cdot 0.4\cdot 0.6^6$

3) Вероятность того, что стрелок попадет в цель два раза

$P(X=2)=C^2_7p^2q^5=\dfrac{7!}{2!5!}\cdot 0.4^2\cdot 0.6^5=21\cdot 0.4^2\cdot 0.6^5$

4) Вероятность того, что стрелок попадет в цель три раза

$P(X=3)=C^3_7p^3q^4=\dfrac{7!}{3!4!}\cdot 0.4^3\cdot 0.6^4=35\cdot 0.4^3\cdot 0.6^4$

5) Вероятность того, что стрелок попадет в цель четыре раза

$P(X=4)=C^4_7p^4q^3=\dfrac{7!}{4!3!}p^4q^3=35\cdot 0.4^4\cdot 0.6^3$

6) Вероятность того, что стрелок попадет в цель пять раз

$P(X=5)=C^5_7p^5q^2=\dfrac{7!}{5!2!}\cdot 0.4^5\cdot 0.6^2=21\cdot 0.4^5\cdot 0.6^2$

7) Вероятность того, что стрелок попадет в цель шесть раз

$P(X=6)=C^6_7p^6q=7\cdot 0.4^6\cdot 0.6$

8) Вероятность того, что стрелок попадет в цель 7 раз

$P(X=7)=p^7=0.4^7$

Закон распределения случайной величины X:

$\boxed{X_i}~~\boxed{0}~~~~~~~~~\boxed{1}~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{4}\\ \boxed{P_i}~~\boxed{0.6^7}~\boxed{7\cdot 0.4\cdot 0.6^6}~\boxed{21\cdot 0.4^2\cdot 0.6^5}~\boxed{35\cdot 0.4^3\cdot 0.6^4}~\boxed{35\cdot 0.4^4\cdot 0.6^3}$

$~~~~~~~~\boxed{5}~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{6}~~~~~~~~~~\boxed{7}\\ \boxed{21\cdot 0.4^5\cdot 0.6^2}~~\boxed{7\cdot 0.4^6\cdot 0.6}~~\boxed{0.4^7}$

Answer 2

Закон распределения случайной величины X - числа попаданий в цель при семи выстрелах - является биномиальным распределением.

Биномиальное распределение описывает число успехов в серии независимых бернуллиевских экспериментов с фиксированной вероятностью успеха. В данном случае, каждый выстрел можно рассматривать как бернуллиевский эксперимент, где вероятность попадания в цель равна 0,4.

Формула для биномиального распределения: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где: P(X = k) - вероятность того, что случайная величина X равна k, n - количество экспериментов (выстрелов), k - количество успехов (попаданий в цель), p - вероятность успеха в каждом эксперименте (вероятность попадания в цель).

В данном случае, n = 7 (количество выстрелов) и p = 0,4 (вероятность попадания в цель).

Таким образом, закон распределения случайной величины X - числа попаданий в цель при семи выстрелах, будет выглядеть следующим образом:

P(X = 0) = C(7, 0) * 0,4^0 * (1-0,4)^(7-0) P(X = 1) = C(7, 1) * 0,4^1 * (1-0,4)^(7-1) P(X = 2) = C(7, 2) * 0,4^2 * (1-0,4)^(7-2) ... P(X = 7) = C(7, 7) * 0,4^7 * (1-0,4)^(7-7)

Где C(n, k) обозначает биномиальный коэффициент, равный n! / (k! * (n-k)!), где "!" обозначает факториал.