Question

Корни х1 и х2 квадратного уравнения х^2-рх+2р=0 таковы, что х1^2+х2^2=5 найти коэффициент р

Answer 1

По теореме Виета

$x_1+x_2=p\\ x_1x_2=2p$

Тогда рассмотрим сумму квадратов корней

$x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$

По условию сумма квадратов корней равна 5 и подставим все данные из того что нашли по т. Виета

$p^2-2\cdot 2p=5\\ \\ p^2-4p-5=0$

Отсюда $p_1=-1;~~ p_2=5$

Определим при каких значениях р квадратное уравнение имеет корни

$D=p^2-4\cdot 2p=p^2-8p>0$

Если подставить p = 5 в неравенство p² - 8p > 0 , то неравенство неверно. При р = -1 неравенство выполняется.

Ответ: p = -1.

Answer 2

Для квадратного уравнения $x^2 - rx + 2r = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ известно, что $x_1^2 + x_2^2 = 5$. Мы можем использовать это условие для нахождения коэффициента $r$.

Известно, что сумма корней квадратного уравнения равна $-\frac{b}{a}$, где $a$ и $b$ - это коэффициенты уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. В данном случае сумма корней равна $r$, так как коэффициент при $x$ равен $-r$.

Также известно, что квадрат суммы корней равен $\left(\frac{b}{a}\right)^2 - 2\frac{c}{a}$. В данном случае сумма квадратов корней равна $x_1^2 + x_2^2 = 5$, а коэффициент при $x^2$ равен 1, коэффициент при $x$ равен $-r$, а свободный член равен $2r$.

Подставим эти значения в формулу:

$\left(-\frac{r}{1}\right)^2 - 2\frac{2r}{1} = 5$

$\frac{r^2}{1} - 4r = 5$

$r^2 - 4r - 5 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение.

Мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти корни $r_1$ и $r_2$. Формула для корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ выглядит следующим образом:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В нашем случае $a = 1$, $b = -4$, и $c = -5$. Подставим эти значения:

$r_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)}$

$r_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

$r_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}$

$r_{1,2} = \frac{4 \pm 6}{2}$

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если $r_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5$, то получается неравенство $x_1^2 + x_2^2 = 5^2 = 25$, что не соответствует условию $x_1^2 + x_2^2 = 5$.
2. Если $r_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1$