Question

Интеграл от 4 до - 1 (2-x)^3 /8 dx​

Answer 1

Ответ:

С применением степени и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадратный корень

sqrt(x)/(x + 1)

Кубический корень

cbrt(x)/(3*x + 2)

С применением синуса и косинуса

2*sin(x)*cos(x)

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, мы можем использовать формулу интегрирования для степенных функций и замену переменной.

Интеграл от $(2-x)^3/8$ dx с пределами от 4 до -1 можно вычислить следующим образом:

1. Прежде всего, раскроем куб выражения $(2-x)^3$:

$(2-x)^3 = (2-x)(2-x)(2-x)$ $= (4 - 4x + x^2)(2-x)$ $= 8 - 8x + 2x^2 - 4x + 4x^2 - x^3$ $= 8 - 12x + 6x^2 - x^3$

2. Теперь, заменим переменную $u$ на $2 - x$, или $u = 2 - x$. Это означает, что $du = -dx$. При изменении пределов интегрирования, также изменятся и пределы:

При $x = 4$, $u = 2 - 4 = -2$ При $x = -1$, $u = 2 - (-1) = 3$

3. Заменим выражение и переменную в интеграле:

$\int_{4}^{-1} \frac{(2-x)^3}{8} dx = -\frac{1}{8} \int_{-2}^{3} u^3 du$

4. Вычислим интеграл $\int_{-2}^{3} u^3 du$:

$\int_{-2}^{3} u^3 du = \frac{1}{4} u^4 \Bigg|_{-2}^{3}$ $= \frac{1}{4}(3^4 - (-2)^4)$ $= \frac{1}{4}(81 - 16)$ $= \frac{65}{4}$

5. Вернемся к исходному интегралу и подставим результат из предыдущего шага:

$-\frac{1}{8} \int_{-2}^{3} u^3 du = -\frac{1}{8} \cdot \frac{65}{4}$ $= -\frac{65}{32}$

Итак, интеграл от $(2-x)^3/8$ dx с пределами от 4 до -1 равен $-\frac{65}{32}$.