Question

Найти промежутки убывания функции y=3x+x^2/x−1 . В ответ записать положительную абсциссу середины одного из промежутков убывания.

Answer 1

Найдем производную

y'=((3x+x²)/(x−1))'=((3x+x²)'(x−1)-(x−1)'(3x+x²))/(x-1)²=(2x*(x-1)-1*(3x+x²))/(x-1)²=

(x²-2x-3)/(x-1)²

x²-2x-3=(х-3)(х+1)

y'≤0, если

(х-3)(х+1)(x-1)²≤0

х≠1

__-1___1__3_____

+      -       -       +

х∈[-1;1) и х∈(1;3]

Положительная абсцисса середины промежутка убывания (1;3]  есть число 2

Answer 2

Чтобы найти промежутки убывания функции y = (3x + x^2) / (x - 1), мы должны проанализировать её производную и найти интервалы, где она отрицательна.

Давайте начнем с нахождения производной функции. Используем правило дифференцирования частного функций:

y' = [(3 + 2x)(x - 1) - (3x + x^2)(1)] / (x - 1)^2

Упростим это выражение:

y' = (3x - 3 + 2x^2 - 2x - 3x - x^2) / (x - 1)^2 = (-x^2 - 3x - 3) / (x - 1)^2

Теперь мы можем проанализировать знак производной, чтобы найти промежутки убывания. Найдем значения x, при которых производная отрицательна:

-x^2 - 3x - 3 < 0

Решим это неравенство:

x^2 + 3x + 3 > 0

Дискриминант этого квадратного уравнения равен:

D = (3^2) - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет решений, и производная никогда не меняет знак. Это означает, что функция y = (3x + x^2) / (x - 1) не убывает и не возрастает на всей числовой прямой.

Следовательно, у функции нет промежутков убывания, и ответом является "нет промежутков убывания".