Question

Найти производную неявно заданной функции x^2+y^2=ln y/x+7

Answer 1

$x^2+y^2=ln \dfrac{y}{x+7}\\ 2x+2yy'_x=\dfrac{x+7}{y}*\dfrac{y'_x(x+7)-y*1}{(x+7)^2}\\ 2x+2yy'_x=\dfrac{y'_x(x+7)-y*1}{y(x+7)}\\ 2yy'_x-\dfrac{y'_x}{y}=-2x-\dfrac{1}{x+7}\\ y'_x=\dfrac{-2x-\dfrac{1}{x+7}}{2y-\dfrac{1}{y}}$

Answer 2

Для нахождения производной неявно заданной функции $x^2 + y^2 = \ln\left(\frac{y}{x}\right) + 7$ воспользуемся правилом дифференцирования неявных функций.

Шаг 1: Найдем производную от обеих частей уравнения по переменной $x$:

$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(\ln\left(\frac{y}{x}\right) + 7)$

Шаг 2: Применим правила дифференцирования к каждому слагаемому на обеих сторонах уравнения. Для производной суммы используем свойство линейности дифференциала:

$2x + 2y\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{y}{x}}\left(\frac{y}{x}\right)' + 0$

Шаг 3: Упростим выражение и выразим $\frac{dy}{dx}$:

$2x + 2y\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{y}{x}}\left(\frac{y'}{x} - \frac{y}{x^2}\right)$

$2x + 2y\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}\left(\frac{y'}{x} - \frac{y}{x^2}\right)$

Шаг 4: Упростим выражение и выразим $\frac{dy}{dx}$:

$2x + 2y\frac{dy}{dx} = \frac{y'}{x} - \frac{y}{x}$

$2x + 2y\frac{dy}{dx} = \frac{y' - y}{x}$

Шаг 5: Изолируем $\frac{dy}{dx}$:

$2y\frac{dy}{dx} = \frac{y' - y}{x} - 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y' - y}{x} - 2x}{2y}$

Таким образом, производная неявно заданной функции $x^2 + y^2 = \ln\left(\frac{y}{x}\right) + 7$ равна $\frac{\frac{y' - y}{x} - 2x}{2y}$.